varianz

09.04.2005, 17:55

blinky01

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varianz

auf einer 10cm langen strecke AB wird zufällig ein teilungspunkt C gewählt und ein rechteck mit den seitenlängen AC und CB gebildet.der flächeninhalt des rechtecks ist von zufallsgröße X...
bestimmen sie F(x) unf f(x),E(X) und D²(X)...

meine frage ist jetzt,wie ich die varianz berechne...
F,f und E hab ich schon...nur bei der varianz bin ich mir nicht so sicher...
das rechnet man ja D² = E(x²)-E(x)² oder??
oder mit integral??

D²= $\begin{eqnarray*} \int_{10}^{0}~(X-E(X))²*f(x)~dx \end{eqnarray*}$

ich weiss es nicht...und für die erste formel bin ich auch zu doof... smile

smile

09.04.2005, 17:59

JochenX

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V=E(x²)-E(x)² ist doch schon mal gut, E(X) ist ja schon berechnet.

zu E(X²)... wie hast du denn E(X) berechnet?
das wäre hier mal interessant zu erfahren....

ich habe mal eine ähnliche aufgabe gehabt... da hatte ich das mit unterteilung in kleine teilstücke (n mögliche unterteilungspunkte, alle gleichwahrscheinlich) der strecke gemacht (dann das ganze für n berechnet) und dann lim n gegen unendlich gebildet.
das ergwebnis kam raus, aber das war sehr umständlich, wenn ich mich recht entsinne.

09.04.2005, 18:00

Anirahtak

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RE: varianz
Hallo blinky,

zunächst schreibt man die Grenzen des Integrals anders herum:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{10}~(X-E(X))^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Beide Methode sind richtig zur Berechnung des Erwartungswertes. Es sind zwei verschiedene Wege, die zum gleichen Ziel führen.

Ich persönlich rechne fast immer mit dem "Verschiebungssatz": D² = E(x²)-E(x)²

E(x) hast du ja schon berechnet. Jetzt brauchst du noch E(x²).
Das berechnet sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)= \int_{0}^{10}~x^2\cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Funktioniert es?

Gruß
Anirahtak

EDIT: Tja, zu langsam...

09.04.2005, 18:03

JochenX

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Zitat:

EDIT: Tja, zu langsam...

ich glaube, dafür weißt du mehr, wovon du genau sprichst.... Freude

Freude

ich erinnere mich nur an eine ganze geschrieben und gerechnete seite, und dann einen einzeiler in der musterlösung.....

09.04.2005, 18:14

AD

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RE: varianz

Zitat:

Original von Anirahtak
zunächst schreibt man die Grenzen des Integrals anders herum:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{10}~(X-E(X))^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Und vor allem schreibt man
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{10}~(x-E(X))^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$
Damit sich bei blinky01 nichts falsches einprägt...

09.04.2005, 18:27

blinky01

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also meine lösung für E(X) hier reinzustellen würde zu lange dauern...habe aber 16,66 raus??!!

und was setze ich bei dem hier :

Zitat:

E(X²)= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{10}~x²*f(x)~dx \end{eqnarray*}$

für x² ein??ich kapiere nicht ganz,wie man ein integral ohne richtige zahlen berechnet...

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09.04.2005, 18:30

JochenX

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f(x) ist die dichtefunktion, diese multiplizierst du mit x² und dann bildest du das integral von -unendlich bis +unendlich nach x darüber.
hier ist allerdings f(x)=0 für x<0 und x>10, deswegen die obigen integralsgrenzen.

mfg jochen

09.04.2005, 18:50

AD

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Jetzt erst habe ich mir die eigentliche Aufgabe durchgelesen und muss jetzt fragen: Wieso redet ihr von 0..10 ? X ist doch der Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks, nicht der Teilungspunkt-Abstand! Also ist doch eher $\begin{eqnarray*} 0\leq X\leq 25 \end{eqnarray*}$ angemesssen, oder habe ich die Angaben von blinky01 falsch verstanden? verwirrt

verwirrt

09.04.2005, 18:58

JochenX

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huch, habe das einfach blind übernommen

Gott

Gott

09.04.2005, 19:02

AD

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Vielleicht sollte sich blinky01 mal zu seinem bisherigen Rechenweg äußern:

Zitat:

Original von blinky01
also meine lösung für E(X) hier reinzustellen würde zu lange dauern...habe aber 16,66 raus??!!

Das ist nämlich richtig, also $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X=\frac{50}{3} \end{eqnarray*}$ .

09.04.2005, 23:19

blinky01

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Zitat:

Vielleicht sollte sich blinky01 mal zu seinem bisherigen Rechenweg äußern:

zu IHREM rechenweg bitte... Big Laugh

Big Laugh

also

Big Laugh

ie Länge der Strecke AC ist eine Zufallsvariable, nennen wir sie Y. Für die Größe des Rechteckes ergibt sich somit

X = Y * (10 - Y) = 10 * Y - Y^2

man verwendet:

X = 10 * Y - Y^2:

E(X) = E(10 * Y - Y^2) = 10 * E(Y) - E(Y^2)

E(Y) ist natürlich 5 (5 ist die Mitte der Strecke!).

E(Y^2) = Integral(y^2 * f_y(y)) = Integral[0 bis 10](y^2 / 10)
(f_y bezeichnet die Dichtefunktion von Y, da Rechteckverteilung const. 1 / 10 für 0 < y < 10)

E(Y^2) = [0, 10]y^3 / 30 = 100 / 3

E(X) = 50 - 100 / 3 = 50 / 3 = 16.66...

(sry,bin zu faul für den formeleditor,ist schon so spät...)

10.04.2005, 12:02

AD

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Zitat:

Original von blinky01
zu IHREM rechenweg bitte... Big Laugh

Big Laugh

Tja, registrieren und Geschlecht angeben, oder einen diesbezüglich eindeutigen Namen wählen. Ohne diese Kenntnis wähle ich halt die Neutrumvariante ("das blinky01 / sein Rechenweg"). Big Laugh

Big Laugh

Nun zur Varianz: Wie erwähnt, reicht die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X \end{eqnarray*}$ hast du ja schon:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2)=\mathbb{E}(Y^2[10-Y]^2)=\mathbb{E}(100Y^2-20Y^3+Y^4)=100\mathbb{E}(Y^2)-20\mathbb{E}(Y^3)+\mathbb{E}(Y^4) \end{eqnarray*}$

Was du also noch braucht, ist das m-te Moment von Y :
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^m)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^m\cdot f_Y(y)~\mathrm{d}y=\int\limits_0^{10}\frac{y^m}{10}~\mathrm{d}y=\ldots \end{eqnarray*}$
für m=2,3,4 .

10.04.2005, 15:16

blinky01

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also gut,werde mich in den nächsten tagen registrieren,damit derartige missverständnisse nicht mehr vorkommen... smile

smile

ähm,ja...das mit dem m-ten moment von Y ist mir noch nicht ganz klar...und wie ich dann weiterverfahre... verwirrt

verwirrt

10.04.2005, 15:56

AD

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Zitat:

Original von blinky01
ähm,ja...das mit dem m-ten moment von Y ist mir noch nicht ganz klar...und wie ich dann weiterverfahre...(

In der obigen Formel für $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray*}$ tauchen rechts die drei Werte $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^4) \end{eqnarray*}$ auf - die müssen dann also berechnet werden. Und das mit dem "Moment" ist nur eine Bezeichnung für solche Erwartungswerte von Potenzen, da gibt es nichts zu grübeln.

10.04.2005, 16:09

blinky01

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also rechne ich praktisch das :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{10}~\frac{y^{2}}{10} ~dy \end{eqnarray*}$ und das gleiche mit y^3 und 4...??!!

und wie rechne ich dieses integral?

10.04.2005, 16:23

AD

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Also die Fähigkeit zur Integration simpler Polynome setze ich eigentlich voraus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2005, 18:11

blink111

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also :

F(y) = 1/10 * 1/3y³ oder (1/3y³) / 10

dann F(10)-F(0) = 33 1/3.....
.
.
.

für y³ = 250

und für y^4 = 2000...???

10.04.2005, 18:30

blink111

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und dann hab ich nochmal ne frage...off-topic...

hab nun versucht mich zu registrieren,aber die e-mail,die ich dann bestätigen sollte,ist gar nicht angekommen....jetzt geht mein alter benutzername nicht mehr,und ich musste nen neuen nehmen,und das ist ganz komisch... traurig

traurig

10.04.2005, 18:31

AD

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Falls du $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^2)= 33\,\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^3)=250 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^4)=2000 \end{eqnarray*}$ meinst - alles richtig. Freude

Freude

Und jetzt nur noch oben einsetzen, und schon hast du $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray*}$ . Bleibt dann nur noch

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X=\mathbb{E}(X^2)-\left(\mathbb{E}~X\right)^2 \end{eqnarray*}$

und du bist fertig. Rock

Rock

10.04.2005, 20:21

blink111

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also hab ich jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1000/3}{50/3} \end{eqnarray*}$

=950/3 = 316 2/3...???

kann das stimmen?

10.04.2005, 20:24

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1000}{3}}{\frac{50}{3}}=\frac{1000}{3} \cdot \frac{3}{50}=.... \end{eqnarray*}$

jetzt du.... bruchrechnen wiederholen!

10.04.2005, 20:27

AD

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Kannst du neben den Zahlen nicht auch mal die dahinter stehenden Größen nennen? Also $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X \end{eqnarray*}$ , oder was? verwirrt

verwirrt

10.04.2005, 20:29

blink111

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ach F***...

nicht bruchrechnen wiederholen...sondern in TR eingeben üben... Hammer

Hammer

also kommt 20 raus...

danke Freude

Freude

10.04.2005, 20:37

AD

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Falls du noch da bist, blink111: 20 ist falsch, sowohl für $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X \end{eqnarray*}$ .

10.04.2005, 22:07

blink111

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hab auch insgesamt für die varianz 55 5/9 raus...
hoffe das stimmt...naja,mal sehen... smile

smile

11.04.2005, 12:51

Anirahtak

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Hallo,

ich habe deine Anmeldeprobleme an die Verantwortlichen weitergeleitet. Ich hoffe es funktioniert bald.

Gruß
Anirahtak

11.04.2005, 14:15

blinky01

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vielen dank, soeben habe ich die e-mail erhalten... Freude

Freude

11.04.2005, 14:25

AD

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Und die nächste gute Nachricht: $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X=\frac{500}{9}=55\,\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ ist richtig. Freude

Freude

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