Eliptische Formel für die Länge

09.04.2005, 20:01

Trekkie1701

Eliptische Formel für die Länge

Hallo.
Ich suche eine Formel um die länge von der Gesamtstrecke einer Elipse auszurechnen. (Genauer gesagt für den Umfang)
Habe schon die Boardsuche angewendet und auch schon in der Formelsammlung geguckt, bin aber leider nicht fündig geworden smile

Deshalb danke schon mal im Voraus für die Antworten.
Mfg Trekkie1701

09.04.2005, 20:17

Mathespezialschüler

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Kennst du die Formel für die Bogenlänge einer Funktion in einem Intervall [a,b]? Die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} l=\int_a^b~\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Kannst ja mal einsetzen und versuchen, das zu lösen. Aber wenn ich mich richtig erinnere, dann findest du zu diesem Integranden nur schwer eine durch elementare Funktionen anggebare Stammfunktion.

edit: Formel verbessert, danke Frooke!

09.04.2005, 20:19

Frooke

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Du kannst das einerseits mit dem Bogenlängenintegral berechnen (wenn dieses Integral sich einigermaßen berechnen lässt) oder ansonsten gibts bestimmt eine Formel, die ich leider nicht kenne...

Die erste Methode kann aber enorm unangenehm werden, deshalb warte lieber auf eine vernünftigere Antwort… Augenzwinkern

09.04.2005, 20:24

etzwane

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hier sind schon mal zwei Näherungsformeln für den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen a und b:

$\begin{eqnarray*} U \approx \pi (\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \approx \frac{\pi}{2}(a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}) \end{eqnarray*}$

und hier etwas genauer:

$\begin{eqnarray*} U = 2\pi a (1 - (\frac{1}{2})^2 \cdot \epsilon^2 - (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})^2 \cdot \frac{\epsilon^4}{3} - (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6})^2 \cdot \frac{\epsilon^6}{5} - ...) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \text{ und } a > b \end{eqnarray*}$

und hier sehr genau und schnell:
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/ellipsenumfang/

EDIT: Link zugefügt

09.04.2005, 20:26

JochenX

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ach wat solls, ich hab zwar keine ahnung, aber ich steuer auch mal einen wikipedialink dazu:
klick hier

mfg jochen

09.04.2005, 21:12

Frooke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Kennst du die Formel für die Bogenlänge einer Funktion in einem Intervall [a,b]? Die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} l=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \end{eqnarray*}$

Schüchterne Zwischenfrage: Müsste da nicht

$\begin{eqnarray*} l=\int_a^b~\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\rm dx \end{eqnarray*}$

stehen?

LG