Koordinatangleichung zu einer Parameterform

06.10.2007, 17:58

krystal

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Koordinatangleichung zu einer Parameterform

Hallo hab ein Problem mit einer aufgabe!

Folgendes ist angegeben: 2xeins+5xzwei-6xdrei=13
xeins sind einfach verschiedene x, weiß nicht wie ich das sonst angeben soll!
Die Lösung der Parametergleichung ist: x=(1/1/-1)+s(5/-2/0)+r(2/0/1)

Ich weiß gar nicht wie man darauf kommt! Kann mir einer ein Tipp geben?

06.10.2007, 18:00

therisen

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Setze z.B. $\begin{eqnarray*} x_2=\lambda, x_3=\mu \end{eqnarray*}$ . Dann erhältst du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Das kannst du dann als Vektor darstellen und "auseinanderziehen". Das Ergebnis ist natürlich nicht eindeutig.

Gruß, therisen

06.10.2007, 18:06

valina

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kannst du das vielleicht irgendwie mal ausführlicher erklären?
ich hänge nämlich gerade am selben problem.
in die umgekehrte richtung ist das ja alles kein problem, aber von der koordinatengleichung zur parameterform.. unglücklich

unglücklich

vielleicht weil ich über das kreuzprodukt gehe und so den weg, den unser mathebuch geht nich umkehren kann? (das geht über ein LGS)

oder kannst du vielleicht ein ganz schnödes beispiel mit einfachen zahlenwerten vorrechnen?

lg
valina

06.10.2007, 18:07

krystal

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verstehe das nicht so ganz...also in der schule ahatten wir gelernt, dass man das nach einem x wert auflösen soll,aber reichtig verstehe ich das nicht!

06.10.2007, 18:09

krystal

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was ist ein kreuzprodukt?

06.10.2007, 18:14

valina

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@ krystal:
ich kann's nich erklären.. nur benutzen *gg*
gib es doch mal bei wikipedia ein.. den artikel hab ich heut morgen auch schon gelsen

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06.10.2007, 19:19

therisen

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$\begin{eqnarray*} x_1=-\frac52\lambda+3\mu+\frac{13}2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=\mu \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} E:\quad\begin{pmatrix}-\frac52\lambda+3\mu+\frac{13}2\\\lambda\\\mu\end{pmatrix}=\dots \end{eqnarray*}$

06.10.2007, 19:55

valina

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und wie gehts weiter?

06.10.2007, 20:02

therisen

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Das habe ich auch schon geschrieben: Den Vektor auseinanderziehen, sodass man die typische Parameterform einer Ebene erhält. Das oben angegebene Ergebnis ist übrigens falsch, wie man am Normalenvektor sieht. Oder die Angabe stimmt nicht.

06.10.2007, 20:10

valina

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daran harke ich schon die ganze zeit.. was genau meinst du mit 'auseinanderziehen' und vor allem, wie genau..

also ich kann mir schon vorstellen, worauf es hinauslaufen soll...

E:x = ( ) + r ( ) + s ( )
aber wie genau ist mir noch ein rätzel.. und was du in dem falle als normalenvektor bezeichnst auch..

06.10.2007, 20:21

therisen

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Auseinanderziehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und was du in dem falle als normalenvektor bezeichnst auch..

Ich habe das Endergebnis einfach mal teilweise überprüft, indem ich das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren gebildet habe.

06.10.2007, 20:34

valina

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insoweit klar... beim "x1 term" jedenfalls...
und beim rest??
ich glaube wir fragen/antworten grad gewaltig aneinander vorbei..

06.10.2007, 20:38

therisen

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} E:\quad\begin{pmatrix}-\frac52\lambda+3\mu+\frac{13}2\\\lambda\\\mu\end{pmatrix}=\dots \end{eqnarray*}$

Jetzt zieh das so auseinander, dass du einen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ unabhängigen, einen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abhängigen und einen von von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ unabhängigen Vektor hast. Streng dein Gehirn doch mal ein bisschen an unglücklich

unglücklich

06.10.2007, 21:22

valina

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ja, menno.. das war genau der teil meiner nachbereitung, wo ich in der entsprechenden klausur 4 punkte hatte ^^

ok, dann brauch ich erst gar nich weiter drüber nachdenken.. abhängigkeiten kann ich nich..
und bei deinem 'auseinanderziehen' weiß ich ja wohl immer noch nicht, wie man bei einem wert das auf dreie auseinander ziehen soll ^^

06.10.2007, 22:00

therisen

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Zitat:

Original von valina
ok, dann brauch ich erst gar nich weiter drüber nachdenken.. abhängigkeiten kann ich nich..

Abhängig bedeutet aber hier nicht etwas wie "linear abhängig" Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2007, 16:36

valina

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dann sag das noch mal für ganz doofe.. wie, als müsstest du das nem kleinkind erklären.. ich komm da einfach nich mit..
immerhin kann ich die sachen in die andere richtung.. dann einfach hoffen, dass im abi genau sowas vorkommt.. aber wenn ich das einmal verstanden hab, dann kann ich das auch.. unglücklich

unglücklich

das frustriert mich doch schon.. genau, wie mich das frustiert hat, als ich von 14 punkten bei analysis (11. klasse) zur auf 4 punkte in der analytischen geometrie (12. klasse+lehrerwechsel) abgeloost bin.. und jetzt kommt der ganze mist ja noch mal

07.10.2007, 17:07

therisen

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$\begin{eqnarray*} E:\quad\begin{pmatrix}-\frac52\lambda+3\mu+\frac{13}2\\\lambda\\\mu\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{13}2\\0\\0 \end{pmatrix}+ \lambda\begin{pmatrix}-\frac52\\1\\0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt schuldest du mir aber was Big Laugh

Big Laugh

07.10.2007, 18:08

valina

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den ersten teil kann ich ja noch voll und ganz nachvollziehen, aber wie kommst du auf die (0/1) und die (1/0) ..?

ok, ich schuld dir was, was willste haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

das da:

Gott

edit:
ok, ich hab's Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2007, 18:24

valina

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so, nur um sicher zu gehen, dass das richtig ist:

E: x1 + x2 + x3 -5 = 0

x1 = - m - j + 5
x2 = m
x3 = j

E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -m & -j & +5 \\ m \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + m $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + j $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig?

07.10.2007, 18:33

PG

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Freude

07.10.2007, 18:42

valina

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juhu!

und wie sieht es aus, wenn von vornerein eins davon null ist? z.B. x3?

weil da kann ich ja nicht einfach ne variable gleich x3 setzen. brauch ich dann einfach nur bei der parameterform bei allen drei vektoren ne 0 für x3 zu schreiben? das kann doch bestimmt nich so einfach sein, oder denk ich wieder nur zu kompliziert?

07.10.2007, 19:04

therisen

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Versuch das gleiche doch mal für die Ebene E: $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

07.10.2007, 19:12

valina

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ah ohje.. gleich so viel auf einmal... uff.. geschockt

geschockt

ich hab echt keine ahnung.. weil genauso, wie bei dem anderen bsp kann ich das j anich mehr machen verwirrt

verwirrt

07.10.2007, 19:19

therisen

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Setze $\begin{eqnarray*} x_1:=\lambda,x_2:=\mu \end{eqnarray*}$ . Und jetzt wieder "aufspalten".

07.10.2007, 19:29

valina

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aber dat is doch 'weg'.. wie kann ich denn was setzen, was null ist?

07.10.2007, 19:42

therisen

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Nur weil du es nicht siehst, heißt es nicht, dass es nicht da ist. $\begin{eqnarray*} 0x_1=0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2007, 20:13

valina

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ja dat weiß ich doch...weiter komm ich damit doch nich..

07.10.2007, 21:16

therisen

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$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\\0 \end{pmatrix}=\dots \end{eqnarray*}$

07.10.2007, 22:46

valina

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ja..
E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \pi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder..? ich bin ein wenig verwirrt... und das sehr

07.10.2007, 22:59

therisen

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Du brauchst nicht verwirrt zu sein, dein Ergebnis stimmt doch (aber wo kommt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ her?). Versuche dir auch geometrisch vorzustellen, warum diese Ebenengleichung Sinn macht.

07.10.2007, 23:09

PG

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Ein wichtiger Tipp:
Immer wenn eine solche Koordinatenform einer Ebene eine Null als absolutes Glied hat, dann geht die Ebene immer durch den Ursprung!

08.10.2007, 12:29

valina

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das pi kommt daher, dass ich deine variable im formeleditor nicht gefunden habe und dann eben die nächst beste genommen hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

geometrisch und vorstellen passt bei mir einfach nicht in einen satz.. ich muss das stur rechnerisch machen..

also kann ich mir das so gesehen als regel merken? wenn es wirklich immer durch den ursprung gehen sollte?

08.10.2007, 12:37

therisen

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Wenn du den Beitrag von PG meinst, ja, das ist korrekt. Das von mir vorgestellte Verfahren funktioniert immer.

08.10.2007, 13:00

Airblader

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Zitat:

Original von valina
das pi kommt daher, dass ich deine variable im formeleditor nicht gefunden habe und dann eben die nächst beste genommen hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tip: Auf "Zitat" klicken, dann siehst du den Code. (Es reicht auch, mit der Maus über die entspr. LaTeX-Grafik zu fahren)

air

09.10.2007, 13:40

valina

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..und wenn nur x3 gleich null ist? wie setz ich denn dann?

09.10.2007, 14:49

PG

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Zitat:

Original von valina
..und wenn nur x3 gleich null ist? wie setz ich denn dann?

Ich habe eigentlich seit langer Zeit nicht mehr die Zeit und Lust, Ausdrücke bzw. Formalitäten zu verbessern, weil sie zu häufig vorkommen... Ich mache hier wieder eine Ausnahme.
Dein Ausdruck im Zitat ist falsch. Nicht $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , sondern der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ist null. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ kann jeden Wert in seinem Bereich einnehmen, d.h. $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Das ist immer Alles das gleiche.
Du wählst für 2 Variablen eine Bezeichnung und setzt dann in der Koordinatenform diese "Bezeichnungen" ein und stellst nach der verbleibenden Variablen um. Rest ist dir klar.

09.10.2007, 15:10

valina

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das hab ich damit auch gemeint.. nur eben falsch ausgedrückt.

so, und nur um sicher zu gehen, dass ich es nun auch wirklich richtig gemacht hab:

E: 3x1 + 5x2 + 13 = 0

und das hab ich raus:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} \begin{pmatrix} -13 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + j \begin{pmatrix} \frac{-5}{3}\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 15:33

PG

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Fast

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{-13}{3} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + j \begin{pmatrix} \frac{-5}{3}\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber das Prinzip scheinst du verstanden zu haben.

09.10.2007, 15:34

valina

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ah, ok.. flüchtigkeitsfehler.. aber juhu, endlich verstanden!

Vielen dank für eure geduld und mühe!

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