Mathe für Wiwis: Grenzrate der Substitution

06.10.2007, 22:20

DerHochpunkt

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Mathe für Wiwis: Grenzrate der Substitution

Zitat:

Die im Produktionsprozeß eines Einprodukt-Industrieunternehmens hergestellte Outputmenge z sei wie in den Vorlesungsbeispielen in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen x und y zweier Inputs durch z = f(x,y) beschrieben, wobei die Produktionsfunktion hier durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{ x^2y^2}{x^3 + y^3} \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

d)

Geben Sie nun für diese Produktionsfunktion die Grenzrate der Substitution des zweiten Faktors bezüglich des ersten Faktors zunächst allgemein, also in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} (x,y)^T \end{eqnarray*}$ für das Outputniveau f(x,y), und dann jeweils explizit für $\begin{eqnarray*} (1,1)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,2)^T \end{eqnarray*}$ für die zugehörigen Outputniveaus an. Geben Sie kurz verbal an, was Ihre letzten beiden numerischen Ergebnisse bedeuteten.

In der Aufgabe ist alles erklärt. Alles andere konnte ich selber lösen, jedoch fehlt mir bei dieser der Ansatz. Bin dankbar über Unterstützung jeglicher Art.

07.10.2007, 11:02

Dual Space

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RE: Mathe für Wiwis: Grenzrate der Substitution
Poste doch bitte mal die Definition der "Grenzrate der Substitution". Dieser Terminus ist Mathematikern nicht in jedem Fall geläufig.

Da die Aufgabe aber vermutlich mit mathematischen Methoden gelöst werden kann, die in der Schule vermittelt werden (Kurvendiskussion), *verschieb* ich erstmal in die Schulmathe. Falls sich herausstellt, dass doch mehr dahinter steckt verschiebe ich wieder zurück. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2007, 13:13

DerHochpunkt

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sry aber hier handelt es sich um mathematik für wirtschaftswissenschaftler (bwl / vwl studium)... habe das doch extra in den titel gesetzt.

hier die definition

Die Grenzrate der Gütersubstitution (oft auch vereinfachend nur Grenzrate der Substitution) ist ein Konzept der mikroökonomischen Haushaltstheorie (Haushaltsoptimum). Hier entscheidet der Nachfrager, welches Gut er konsumiert. Dabei wird er dasjenige Gut wählen, das ihm den größtmöglichen Nutzen stiftet. Er wird daher lediglich dann zu einer Substitution dieses Gutes durch ein anderes bereit sein, wenn er so viele Einheiten des weniger präferierten Gutes bekommt, dass ihn dies für den entgangenen Nutzen beim präferierten Gut entschädigt.

Mathematisch ergibt sich die Grenzrate der Gütersubstitution (GRS) zwischen den beiden Gütern x und y folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} GRS_{xy}=\frac{\Delta U_x}{\Delta U_y} \end{eqnarray*}$

Dabei sei ”Ux der (Grenz-)Nutzen einer zusätzlichen Einheit des Gutes x und ”Uy der entgangene (Grenz-)Nutzen durch eine Einheit weniger des Gutes y. Da dem Nutzenzuwachs beim einen Gut ein Nutzenverlust beim anderen gegenübersteht, nimmt die Grenzrate der Gütersubstitution im Falle nutzenstiftender Güter einen negativen Wert an.

07.10.2007, 13:27

Dual Space

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
sry aber hier handelt es sich um mathematik für wirtschaftswissenschaftler (bwl / vwl studium)... habe das doch extra in den titel gesetzt.

Schon klar. Aber aus mathematischer Sicht wird wohl keine höhere Mathematik von Nöten sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Mathematisch ergibt sich die Grenzrate der Gütersubstitution (GRS) zwischen den beiden Gütern x und y folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} GRS_{xy}=\frac{\Delta U_x}{\Delta U_y} \end{eqnarray*}$

Dabei sei ”Ux der (Grenz-)Nutzen einer zusätzlichen Einheit des Gutes x und ”Uy der entgangene (Grenz-)Nutzen durch eine Einheit weniger des Gutes y. Da dem Nutzenzuwachs beim einen Gut ein Nutzenverlust beim anderen gegenübersteht, nimmt die Grenzrate der Gütersubstitution im Falle nutzenstiftender Güter einen negativen Wert an.

Was bedeutet dabei $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ?

07.10.2007, 13:37

DerHochpunkt

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ich vermute es soll heißenn

dU / dx

klar war das bei wiki aber nicht erklärt.

07.10.2007, 14:02

Dual Space

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
klar war das bei wiki aber nicht erklärt.

Link?

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07.10.2007, 14:14

DerHochpunkt

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http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzrate_der_Substitution

07.10.2007, 14:21

Dual Space

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Dort steht doch alles. böse

böse

$\begin{eqnarray*} \Delta U_x \end{eqnarray*}$ ist der Grenznutzen einer zusätzlichen Einheit des Gutes x. Also berechne $\begin{eqnarray*} \Delta U_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta U_y \end{eqnarray*}$ , dann bist du so gut wie fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2007, 14:34

DerHochpunkt

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Ich kann bloß mit der Aufgabenstellung nichts anfangen...

Zitat:

Geben Sie nun für diese Produktionsfunktion die Grenzrate der Substitution des zweiten Faktors bezüglich des ersten Faktors zunächst allgemein

Was ist damit gemeint?

07.10.2007, 14:45

Dual Space

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Das sagt dir, ob $\begin{eqnarray*} \operatorname{GRS}_{xy} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{GRS}_{yx} \end{eqnarray*}$ gesucht ist. Aber berechne doch erstmal $\begin{eqnarray*} \Delta U_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta U_y \end{eqnarray*}$ , denn die brauchst du in jedem Falle.

07.10.2007, 15:03

DerHochpunkt

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Auf meine Ausgangsfunktion bezogen erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = \frac{2xy^5 - x^4y^2}{x^6 + 2x^3y^3 + y^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = \frac{2x^5y - x^2y^4}{x^6 + 2x^3y^3 + y^6} \end{eqnarray*}$

07.10.2007, 15:16

Dual Space

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Ich gehe mal davon aus, dass die Ableitungen stimmen ...

Berechne nun den Quotienten $\begin{eqnarray*} \operatorname{GRS}_{xy}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} \end{eqnarray*}$ .

07.10.2007, 15:49

DerHochpunkt

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$\begin{eqnarray*} GRS_{xy} = \frac{2y^4-x^3y}{2x^4-xy^3} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jedoch: Bedeutet...

...berechne die Grenzrate der Substitution des zweiten Faktors bezüglich des ersten Faktors...

$\begin{eqnarray*} GRS_{xy} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} GRS_{yx} \end{eqnarray*}$

???

07.10.2007, 15:59

Dual Space

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Du bist der Wiwi. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde meinen, es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{GRS}_{xy} \end{eqnarray*}$ gemeint. Denn dieser Quotient gibt an, wieviel (in Einheiten von Gut x) der Konsument für eine marginale Einheit von Gut y bereit ist zu zahlen - er beschreibt also den "Austauschpreis" von Gut y gegen Gut x.

Nachtrag: Naja ... das ist schon ziemlich verwirrend. Könnte also auch andersrum sein.

07.10.2007, 16:14

DerHochpunkt

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ich hätte erst GRSyx gedacht, weil der zweite faktor in der aufgabenstellung zuerst kommt. aber deine begründung ist auch sehr schlüssig. ich werd im semester einfach mal meinen mathe prof fragen smile

smile

danke auf jedenfall. durch den austauschprozess hab ichs zumindest inhaltlich verstanden. war gar nicht so schwer. Wink

Wink

07.10.2007, 20:57

Dual Space

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
ich werd im semester einfach mal meinen mathe prof fragen

Frag lieber deinen VWL(Mikro)-Prof.!

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