Erwartungswert E(M)

07.10.2007, 13:53

Paul44

Erwartungswert E(M)

Hey!

Zu meiner Frage:

2 Wuerfel werden geworfen.
M sei von den Augensummen das maximum ( grösste) .
Berechne den Erwartungswert E(M).

Ich versteh die aufgabe nicht ganz, wäre dankbar fuer Hilfe.

07.10.2007, 13:58

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Wie berechnet man allgemein den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße, wie hier von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ? Dazu braucht man die Verteilung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , am besten in der Form der Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(M=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,6 \end{eqnarray*}$ . Und die kann man im vorliegenden Fall aus der angegebenen Maximumeigenschaft bestimmen - bei so einem einfachen W-Raum vielleicht auch durch schnödes Abzählen der Varianten.

07.10.2007, 14:54

Paul44

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Also ich könnte den Erwartungswert fuer das einfache Ezperiment ohne Probleme angeben. Was ich nicht ganz verstehe ist das maximum der Augensumme. Von dem Maximum soll ja irgendwie der Erwartungswert berechnet werden.. wie weicht das denn vom gesammten Erwartungswert ab. Versteh ich leider noch nich so ganz.

07.10.2007, 14:55

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dazu braucht man die Verteilung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , am besten in der Form der Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(M=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,6 \end{eqnarray*}$ . [...] vielleicht auch durch schnödes Abzählen der Varianten.

07.10.2007, 16:27

Mr. Poisson

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Der Wahrscheinlichkeitsraum zu dieser Aufgabe (angenommen es sind "normale" Würfel Augenzwinkern

) sieht doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{(w_1,w_2): w_i \in \{1,...,6\} \} \end{eqnarray*}$

Die Zufallsvariable M ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} M((w_1,w_2)) = \mbox{max}\{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$

Die Verteilung von M bekommen wir z.B. durch diese Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} P(M=k) = P(X \leq k) - P(\leq k-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{36} (|\{(w_1,w_2) \in \Omega: w_i \in \{1,...,k\} \}| - | \{(w_1,w_2) \in \Omega: w_i \in \{1,...,k-1\} \}|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{36} ( k^2 - (k-1)^2) = ... \end{eqnarray*}$

das kannst du noch vereinfachen und dann einfach in die Def. des Erwartungswertes einsetzen:

$\begin{eqnarray*} E[M] = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(Y=k) = ... \end{eqnarray*}$

07.10.2007, 16:33

Mr. Poisson

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sorry, es muss natürlich

$\begin{eqnarray*} E[M] = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(M=k) \end{eqnarray*}$ heißen!

07.10.2007, 16:39

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Und auch $\begin{eqnarray*} P(M=k) = P(M \leq k) - P(M\leq k-1) \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

Aber das ist in der Tat der "ordentliche" Rechenweg zur Bestimmung von P(M=k). Freude

Wenn man das nicht sieht, kann man wie gesagt bei diesem kleinen Beispiel das auch noch von Hand abzählen, indem man alle 36 Elementarereignisse durchgeht und P(M=k) dann durch Abzählen als Laplacewkt bestimmt.

07.10.2007, 17:15

Mr. Poisson

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ops, danke für die Korrektur, ist doch besser wenn die Zufallsvariable immer den gleichen Namen hat Augenzwinkern

19.10.2007, 23:03

Mr Poisson

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hallo,
jetzt hab ich noch ne Frage dazu.
Sei also $\begin{eqnarray*} X(\omega) =\max\{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \min\{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja für die Verteilung von Y entsprechend:
$\begin{eqnarray*} P(Y=j) = P(Y \geq j) - P(Y \geq j+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{36} ((7-k)^2 - (6-k)^2) = \frac{1}{36} (13-2k) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich überlegt was die gemeinsame Wkeitsfunktion ist
(also betrachte nur den Fall $\begin{eqnarray*} j \not= k \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} P(X=k, Y=j) = P(X \leq k, y=j) - P(X \leq k-1, Y=j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(X \leq k, Y \geq j) - P(X \leq k, Y \geq j+1) - P(X \leq k-1, Y \geq j) + P(X \leq k-1, Y \geq j+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{36}((k-j+1)^2 - 2(k-j)^2 + (k-j-1)^2) \end{eqnarray*}$

jetzt steh ich ziemlich auf dem Schlauch, ich hab eigentlich nur versucht das weiter auszurechnen, aber das kann ja nicht sein:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{36} ( k^2 - 2jk + 2k - 2j + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad - 2k^2 + 4jk -2j^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad k^2 - 2jk + j^2 -2k+2j+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

wo hab ich mich denn hier verrechnet...??

Viele Grüße,
Mr.Poisson

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