Ringisomorphismus

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Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus
Hallo, ich probiere mich gerade auf eine Prüfung der Algebra/Zahlentheorie vorzubereiten, stoße bei einer Aufgabe allerdings auf immense Verständnisprobleme.

Ich soll für die Ringe R5, R8, R10 und R12 (also Moduloringe) die Einheiten bestimmen. Das habe ich auch gemacht und hoffe sogar richtig:
R5*={1,2,3,4}
R8*={1,3,5,7}
R10*={1,3,7,9}
R12*={1,5,7,11}

Nun soll ich prüfen welche Ringe isomorph zu einander sind. Das Prinzip ist mir klar, 2 Ringe (R,+,0,*,1) und (S,+,0,*,1} sind isomorph zueinander wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den Strukturen gibt mit wobei .

Wie kann ich das nun aber konkret rauskriegen, ob dies so stimmt? Einfach durch scharfes hingucken, oder gibt es da eine Art Algortihmus um zu bestimmen, ob nun eine Isomorphie vorliegt?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Einheitengruppen sind korrekt. Isomorphie weist man nach, indem man einen Isomorphismus angibt. Klingt komisch, ist aber so Big Laugh
Zur Information: Es gibt bis auf Isomorphie genau 2 (abelsche) Gruppen der Ordnung 4.


Gruß, therisen
Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wirklich weiter hilft mir das bisher nicht. Also ich habe den Isomorphismus noch nicht gefunden. Ich weiß, dass das neutrale Element aufs neutrale Element abgebildet wird. Nützt mir das was, um den Isomorphismus zu finden?

Den Tipp mit der Anzahl der abelschen Gruppen der Ordnung 4 versteh ich leider auch noch nicht. Weshalb Ordnung 4, benutze ich die Einheitengruppen um den Isomorphismus anzugeben?
Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir mal eben die Ordnung meiner Einheiten angeschaut, dabei viel mir auf, dass die Einheiten von R5 und R10 die Ordnungen 1, 2, 4, 4 annehmen und die der R8 und R12 1,2,2,2. Das scheint mir ein Indiz dafür zu sein, dass R5 und R10 isomorph zueinander sind und R8 und R12 ebenfalls zueinander isomorph. Doch wie geht es nun weiter?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tocotron
Das scheint mir ein Indiz dafür zu sein, dass R5 und R10 isomorph zueinander sind und R8 und R12 ebenfalls zueinander isomorph. Doch wie geht es nun weiter?


, wie man leicht an der Anzahl der Elemente der jeweiligen Ringe/Gruppen sieht. Sehr wohl gilt aber .

Um mal ein bisschen Werbung für GAP zu machen:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
gap> u1 := Units(ZmodnZ(5));
<group with 1 generators>
gap> u2 := Units(ZmodnZ(8));
<group with 2 generators>
gap> u3 := Units(ZmodnZ(10));
<group with 1 generators>
gap> u4 := Units(ZmodnZ(12));
<group with 2 generators>
gap> IsomorphismGroups(u1,u2);
fail
gap> IsomorphismGroups(u1,u3);
CompositionMapping( [ (1,2,3,4) ] -> [ ZmodnZObj( 7, 10 )  ], <action isomorphism> )


(Die Anzahl der Generatoren ist ebenfalls ein Indiz für die Isomorphie.)

Um nun einen Isomorphismus anzugeben (bzw. die Isomorphie zu zeigen), kannst du z.B. die jeweiligen Gruppentafeln angeben, woraus man die Behauptung sofort ablesen kann.


Gruß, therisen
Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »

Ach und auf einmal war es dann doch ganz einfach. Also wenn ich mir die Tafeln Für R5*, R10* anschaue kann ich den Isomorphismus f: R5*->R10* angeben durch, f(1)=1, f(2)=3, f(3)=7, f(4)=9, und für g: R8*-> R12* durch g(1)=1,g(3)=5,g(5)=7, g(7)=11. Nun richtig?

danke für die hilfe
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir nicht die Mühe gemacht Gruppentafeln aufzuschreiben, aber das traue ich dir durchaus zu. Die Isomorphie an sich stimmt jedenfalls Augenzwinkern
Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir eben auch mal GAP installiert, komm aber noch nicht so recht mit den Meldungen klar. Schau mal, was soll das heißen?

gap> IsomorphismGroups(u2,u4);
CompositionMapping( [ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ] ->
[ ZmodnZObj( 7, 12 ), ZmodnZObj( 5, 12 ) ], <action isomorphism> )

Da du anscheinend Mathematik auch am Rechner betreibst, kannst du mir evtl. noch nen schickes Programm nennen mit denen man sich Graphen von DGL'S zeichnen lassen kann? Schreib meine Bachelorarbeit zur DGL'S und Zinseszins und fänds ganz toll, wenn ich mir die DGL'S als Kurvenscharen zeichnen lassen könnte
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich führe mal mein obiges Beispiel fort.

code:
1:
2:
3:
4:
gap> f := IsomorphismGroups(u1,u3);
CompositionMapping( [ (1,2,3,4) ] -> [ ZmodnZObj( 7, 10 )  ], <action isomorphism> 
gap> AsSSortedList( Image(f) );
[ ZmodnZObj( 1, 10 ), ZmodnZObj( 3, 10 ), ZmodnZObj( 7, 10 ),  ZmodnZObj( 9, 10 ) ]


Das bedeutet nichts anderes als . Dein zweiter Isomorphismus stimmt ebenfalls.

Zitat:
Original von Tocotron
Da du anscheinend Mathematik auch am Rechner betreibst, kannst du mir evtl. noch nen schickes Programm nennen mit denen man sich Graphen von DGL'S zeichnen lassen kann? Schreib meine Bachelorarbeit zur DGL'S und Zinseszins und fänds ganz toll, wenn ich mir die DGL'S als Kurvenscharen zeichnen lassen könnte


Nein, ich bin kein angewandter Mathematiker Augenzwinkern
Tocotron Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem noch mal vielen Dank für deine Hilfe.
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