Ideale in Q[x] bzw. Z[X]

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Ideale in Q[x] bzw. Z[X]
Folgende Aufgaben waren in meiner Algebra Klausur. Ich wüsste nur all zu gern wie die Lösung aussieht.

1. Z.z.:

Z[X]/(X^3+4,X^2-1) =~ Z/3Z x Z/5Z



2. Wieviele Ideale hat Q[X]/(X^4-1)


Wenn mir da einer mit nur vernünftigen Erkläung weiterhelfen könnte wäre das echt super.
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RE: Ideale in Q[x] bzw. Z[X]
Ach ja zu 1. war noch der Hinweis gegeben.

Durch Division mit Rest finde man einfachere Erzeugende des Ideals (x^3+4,X^2-1)



=~ soll überings isomorph heißen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Aufgabe habe ich mir Folgendes überlegt:

1. Zeige:

Das von den Polynomen erzeugte Ideal kann auch von erzeugt werden (zweimalige Reduktion mittels Polynomdivision).


2. Zeige:

Durch


(wobei der Rest bei der Division von durch ist)

ist ein wohldefinierter Epimorphismus mit als Kern gegeben, und wende den Homomorphiesatz an.

Wenn man da spezielle Sätze der Vorlesung verwendet, könnte man das vielleicht noch eleganter machen. Ich bin leider nicht erfahren genug in der Idealtheorie, um dir mehr sagen zu können (und hoffe im übrigen, daß das Obige richtig ist).
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Das klingt ja erstmal ganz gut!! - vielen Dank erstmal für die Mühe.

Wenn sich jemand noch an der zweiten Augabe versuchen will - immer gern Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
(und hoffe im übrigen, daß das Obige richtig ist).


Ich sehe jedenfalls keinen Fehler und die Lösung "fühlt sich gut an": .


Zu 2) Die Ideale des Quotientenrings sind genau die Ideale des Hauptidealrings , die enthalten. Ein solches Ideal wird notwendigerweise von einem Teiler von erzeugt - das ist auch bereits hinreichend, wie man sich leicht überlegt.

Gruß, therisen

PS: Nicht die 1 und selbst vergessen Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine spontane Idee: als Unterkörper von .

Gilt dann wegen nicht ?

Dann wären ja nur die Ideale eines Körpers zu finden. Und allzu viele sollten das nicht sein ...
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
?


Warum und nicht ? Letzteres ist sicher kein Körper, denn:

Zitat:
Original von Leopold
Dann wären ja nur die Ideale eines Körpers zu finden. Und allzu viele sollten das nicht sein ...


2 Ideale reichen nicht. In meinem obigen Beitrag habe ich eigentlich schon verraten, wie viele Ideale es gibt (und welche das sogar sind).


Gruß, therisen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe natürlich schon und nicht gemeint. Aber das macht die Sache auch nicht besser. Irgendwie habe ich den Faktorring für den Zerfällungskörper von gehalten. Aber das war natürlich frühmorgendlicher Blödsinn. Denn offenbar ist das von diesem Polynom erzeugte Ideal nicht maximal. Sorry, wenn ich den Fragesteller verwirrt habe.
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