kommutativer Ring, Nullteiler, Einheiten

08.10.2007, 02:34	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
kommutativer Ring, Nullteiler, Einheiten Es sei E eine Menge mit mindestens zwei Elementen. Auf der Potenzmenge P(E) wählen wir als additive Verknüpfung die symmetrische Differenz $\begin{eqnarray} A \triangle B :=(A \cup B) / (A \cap B) \end{eqnarray}$ und als multiplikative Verknüpfung den Durchschnitt $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Um zu zeigen, dass (P(E), $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ ) ein kommutativer Ring mit 1 ist, hab ich die kommutativität und assoziativität der beiden Verknüpfungen gezeigt. Als 0-Element (Neutrales bzgl. additiver Verknüpfung) hab ich die leere Menge ausgemacht. Als Einselement habe ich E gewählt. Nun tue ich mich schwer mit Einheiten und Nullteilern dieses Ringes. Könnt ihr mir helfen und sagen, ob ich bisher richtig liege? Danke schon mal im voraus
08.10.2007, 10:49	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher liegst du richtig. Für Einheiten und Nullteiler interessiert hauptsächlich die multiplikative Struktur. Zu den Nullteilern: Folgt aus $\begin{eqnarray} A\cap B=\varnothing \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} A=\varnothing\vee B=\varnothing \end{eqnarray}$ ? Gruß, therisen
08.10.2007, 15:41	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, A und B können schlicht zwei disjunkte Mengen sein. Hab mir überlegt, dass zu jeder Teilmenge T von P(E), das Komplement von T bzw jede Teilmenge des Komplements Nullteiler ist. Doch wie drücke ich das nun aus?
08.10.2007, 15:43	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich ist jedes Element von $\begin{eqnarray} P(E) \end{eqnarray}$ ein Nullteiler, bis auf $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ selbst.
08.10.2007, 16:02	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Einheit scheint nur das neutrale Element e=E in Frage zu kommen, denn wie soll durch Schnitt von Teilmengen die gesamte Menge entstehen?!? $\begin{eqnarray} (P(E), \triangle , \cap)^ =\{E\} \end{eqnarray*}$
08.10.2007, 16:17	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sehe ich auch so.
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