2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...

08.10.2007, 16:27

maddi

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2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...

Also eigentlich hab ich nicht so Probleme mit Mathe aber mit diesen beiden Aufgaben komm ich einfach nicht klar...
1.) Bestimme die Längen der Seiten eines Rechtecks, von dem bekannt ist:
Der Flächeninhalt beträgt 17,28cm², die Längen der benachbarten Seiten unterscheiden sich um 1,2cm...

und die
2.) Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 10cm ist ein Rechteck PQRS eingeschrieben. Wo muss der Punkt P auf der Seite AB gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Rechtecks die Hälfte [ein Viertel] von dem des Quadrates beträgt? Wie lang sind dann die Seiten u und v des Rechtecks?
Dazu hab ich auch eine Zeichnung beigefügt,hoffe die ist einigermaßen verständlich..

08.10.2007, 16:29

tigerbine

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RE: 2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...
Willkommen

Willkommen

zu 1)

- Wie lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks der Seitenlängen a und b?

08.10.2007, 16:36

maddi

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RE: 2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...
F = a * b
17,28 cm² = a * b

08.10.2007, 16:38

tigerbine

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RE: 2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...
Dann haben wir doch schon die halbe Miete. Nun musst du nur noch den Satz:

Zitat:

die Längen der benachbarten Seiten unterscheiden sich um 1,2cm

Übersetzen.

08.10.2007, 17:02

maddi

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RE: 2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...
ja und dabei hatts dann gehapert^^ d.h. das die z.b. a 1,2 kürzer/länger ist als die Andere...aber das bekomm ich nicht in eine Gleichung.. verwirrt

verwirrt

08.10.2007, 17:05

tigerbine

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RE: 2aufgaben zum lösen von quadratischen gleichungen...
Versteh ich nicht. Der Flächeninhalt ist schon passend in cm² angegeben

$\begin{eqnarray*} a \cdot b = 17.28 ~\text{cm}^2 \end{eqnarray*}$

Nun können wir völlig frei entscheiden, ob a oder b die längere Seite sein soll. Ich wähle a. Wenn a also 1.2cm länger ist wie b, was können wir dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} b = ? \end{eqnarray*}$

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08.10.2007, 17:07

ethused-Earthling

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Du hast zwei Seiten a und b.
Die eine, z.B. die Seite b ist um 1,2 cm länger als die Seite a.
Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} b=a+1,2 \end{eqnarray*}$

Du weißt außerdem ,dass $\begin{eqnarray*} ab=17, 28 \end{eqnarray*}$
Setze hier nun b ein (haben wir gerade ermittelt) und du erhältst eine Gleichung mit nur jeweils einer Variablen, nach der du auflöst.

Dann hast du die Seite a. Seite b ist bekanntermaßen $\begin{eqnarray*} b=a+1,2 \end{eqnarray*}$ . Auch hier setzt du das a ein und erhältst die Länge der Seite b.

08.10.2007, 17:21

tigerbine

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Auf diese Gleichung soll sie doch selber kommen. Was soll das jetzt? unglücklich

unglücklich

@Maddi:

Bei mir ist b kürzer, bei et ist b länger.

08.10.2007, 17:23

maddi

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ahhh verstanden smile

smile

man man manche Aufgaben sind echt so leicht,dass man nicht auf die Lösung kommt^^

08.10.2007, 17:48

tigerbine

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Zitat:

Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 10cm ist ein Rechteck PQRS eingeschrieben.

Wo muss der Punkt P auf der Seite AB gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Rechtecks die Hälfte [ein Viertel] von dem des Quadrates beträgt?
Wie lang sind dann die Seiten u und v des Rechtecks?

Da könnte man wohl den Satz von Pythagoras gebrauchen.

08.10.2007, 17:58

maddi

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das hab ich mir eben auch gedacht..
also ich hab jetzt erstmal ausgerechnet,dass er flächeninhalt von dem rechteck 50cm² betragen muss...da dieser vom quadrat ja 100cm² ist und das rechteck die hälfte davon sein soll...
so jetzt weiß ich aber nicht so recht weiter..habe mir einfach mal gedacht,dass das rote a=2cm sind... und dann wär das u ja nach dem satz des phytagoras 8cm..aber das kommt mir auch ein bisschen spanisch vor verwirrt

verwirrt

08.10.2007, 18:05

maddi

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hier ist nochmal ein link wo man die zeichnung etwas besser erkennt:
http://img.photobucket.com/albums/v492/maddi13/mathe.jpg

08.10.2007, 18:10

tigerbine

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Entscheidend ist schon einmal, dass dem Quadrat ein Rechteck einbeschrieben wird. Richtig ist auch, dass das Quadrat einen Flächeninhalt von 100 cm² hat, wir im Falle 1 also ein Rechteck mit Flächeninhalt 50cm² haben.

Tragen wir einmal zusammen, was wir über die eingezeichneten Größen wissen. Angaben in cm, cm²

$\begin{eqnarray*} a+b = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 10 - a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u \cdot v = 50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = \frac{50}{u} \end{eqnarray*}$

Wenn nun z.B. a=2 ist, welchen Flächeninhalt hat dann das Rechteck? Und wie lang sind [AS], [SD], [DR], [RC], [CQ], [QB]?

08.10.2007, 18:34

maddi

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also dann ist
b=8

das heißt:
[AS] = 2
[SD] = 8
[DR] = 8
[RC] = 2
[CQ] = 2
[QB] = 8

u = 2² + 2² = 8
v = 50/8 = 6,25

8*6,25 = 50

ist das richtig??

aber wieso kann ich v nicht mit dem satz des phytagoras ausrechnen? denn dann kommt doch raus:
v = 8² + 8² = 128 .....

08.10.2007, 18:38

tigerbine

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a = [AP] = 2. Sicher ist dann b = [PB] = 8.

Warum ist aber [AS]=2, sprich dass Dreieck APS gleichschenklig?

08.10.2007, 18:42

maddi

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mhmm dacht ich mir so..:/

08.10.2007, 18:53

tigerbine

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Das ist mal keine gute Begründung. Was steht denn in deinem Buch? Was würde denn passieren, wenn das Dreieck nicht gleichschenklig wäre. Ist das Viereck SPQR dann noch ein Rechteck?

08.10.2007, 18:58

maddi

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ne dann wäre es mein ich kein rechteck mehr.aber woher weiß ich jetzt,dass a=2cm ist und nicht bpsw. 3cm und b dann 7cm....?

08.10.2007, 19:06

tigerbine

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Das war doch nur als Beispiel gedacht, damit dir die weiteren Überlegungen leichter fallen. Wir wissen jetzt nämlich noch

$\begin{eqnarray*} [AS]=[AP] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a² + a² = u² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u= \sqrt{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

Somit können wir alles in Anhängigkeit von a ausdrücken. Und somit üerb den Flächen Inhalt 50 [25] die gesuchte Länge a bestimmen.

08.10.2007, 20:34

maddi

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also jetzt u in der oberen gleichung einsetzen?? und wie kommt man auf: u=wurzel aus 2 *a ?? das muss ja später ne quadratische gleichung iwie ergeben oder? Erstaunt1

Erstaunt1

08.10.2007, 21:22

ethused-Earthling

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Aus der Zeichnung wird ersichtlich, dass nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{eqnarray*} a^2 + a^2 = u^2 \end{eqnarray*}$ , was äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} 2a^2 = u^2 \end{eqnarray*}$ ist. Nun die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung ziehen, und du erhältst $\begin{eqnarray*} u= \sqrt2 \cdot a \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} \sqrt {2a^2}= \sqrt {2} \cdot \sqrt {a^2} \end{eqnarray*}$ )

08.10.2007, 22:00

tigerbine

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Für v gehst Du analog mit b vor.

[Zur Probe: a=5]

09.10.2007, 14:20

maddi

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Ah ok das versteh ich soweit! danke schomal=) bei v bekomm ich dann dementsprechend raus: v = \sqrt{2} * b
muss ich das jetzt in die u*v=50 gleichung einsetzen???

09.10.2007, 14:23

tigerbine

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Lehrer

Formeleditor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ausgangspunkt ist die Fläche

$\begin{eqnarray*} u \cdot v = 50 \end{eqnarray*}$ (*)

a haben wir nun schon durch a ausgedrückt

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

Wie sieht es mit v aus? auch das Dreieck PBQ ist gleichschenklig, es gilt dann also

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{2} \cdot b \end{eqnarray*}$

Und mit der Seitenlänge des Quadrats folgt dann

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{2} \cdot (10 - a) \end{eqnarray*}$

Somit kann man in (*) u und v in Abhängigkeit von a darstellen und am Ende ist eine quadratische Gleichung zu lösen.

09.10.2007, 14:37

maddi

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d.h.:

$\begin{eqnarray*} 50 = u * v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50 = ( \sqrt{2} * a ) * ( \sqrt{2} * (10-a)) \end{eqnarray*}$ ??

ist das kompliziert :/

09.10.2007, 14:48

ethused-Earthling

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Sieht gut aus, ja.

09.10.2007, 14:57

maddi

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aber das jetzt in eine quadratische gleichung zu verwandeln wird etwas kompliziert..

$\begin{eqnarray*} 50 = (\sqrt{2} *a) * (4,8- \sqrt{2}*a) \end{eqnarray*}$

??? und wie wird das weiter aufgelöst??? :/

09.10.2007, 17:26

maddi

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ahh brauche bitte antworten...nur die quadratische gleichung, die lösen kann ich dann ja auch,aber aufstellen nicht..:/

09.10.2007, 19:00

tigerbine

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Ein bisschen was solltest Du auch schon einmal selbst tun unglücklich

unglücklich

Und mit der Seitenlänge des Quadrats folgt dann

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{2} \cdot (10 - a) \end{eqnarray*}$

Mach insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot a \cdot \sqrt{2} \cdot (10 - a) = 50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot a \cdot (10 - a) = 50 \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 19:38

maddi

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$\begin{eqnarray*} 50 = 2a * (10 - a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 50 = 20a - 2a² / - 50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a² + 20a - 50 = 0 /:-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a² - 10a + 25 = 0 \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?wenn ich hiervon jetzt nämlich die diskriminante ausrechne,bekomme ich da -50 raus und theoretisch kann die lösung doch gar nicht negativ sein?

09.10.2007, 20:19

tigerbine

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Das stimmt soweit, aber die Diskriminante ist 0

09.10.2007, 21:23

maddi

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dann hab ich bei a=5 raus...aber b muss dann ja auch 5 sein weils zusammen 10 ergibt?! verwirrt

verwirrt

09.10.2007, 21:28

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Für v gehst Du analog mit b vor.

[Zur Probe: a=5]

Und was ist an b=5 so schlimm?

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