Beweisidee gesucht (Stetigkeit) |
| 08.10.2007, 18:38 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweisidee gesucht (Stetigkeit) Ich sitze gerade vor folgendem Beweis: Sei f auf [a,b] stetig und f(x)>0 für alle x e [a,b]. Dann gibt es eine Konstande c>0 mit f(x)>=c>0 für alle x. ich versuche gerade irgendwie das mit dem Delta-Epsilon-Kriterium zu lösen.... kann mir da einer bisschen auf die Sprünge helfen ?! Eigentlich müsste man ja nur "trivial" hinschreiben, da die Behauptung ja völlig klar ist.... danke! EDIT: zu sagen, dass man den kleinsten f(x) Wert von allen x in diesem Intervall einfach auf c setzt genügt wohl nicht. ?! |
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| 08.10.2007, 18:45 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habt ihr den Satz gesehen, dass eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall Extrema annimmt? Dann wird es einfach... |
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| 08.10.2007, 18:47 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du meinst kompaktes Inteval = beschränktes Intervall ? Falls ja, kann ich Deine Frage auch mit ja beantworten. Wir hatten den schlauen Satz, dass jede beschränkte Menge Extrema hat..... |
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| 08.10.2007, 18:50 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hatte schon folgende Idee: Hat die Funktion Extrema nehme ich den Tiefpunkt und sage dass dies c sein muss... Hat die Funktion keine Extrema ist die konstant. Dann nehme ich als c einfach den Wert der Konstanten. Aber ich denke, dass diese Erklärung nicht ausreicht.. Wegen Uni und bla. |
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| 08.10.2007, 18:54 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, die Idee reicht völlig aus... Wenn f ein Minimum annimmt (egal of f konstant oder nicht), dann wähle c:=f(xmin). PS: Kompakt heisst beschränkt und abgeschlossen. Das ist wichtig, denn f(x):=1/x ist auf (0,1] (beschränktes Intervall) stetig, nimmt aber kein Maximum an. |
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| 08.10.2007, 19:05 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, erstmal vielen Dank für Deine Hilfe! Habe aber noch 1-2 kleine Fragen:
Ich kann das bei meinem Beweis aber nicht vorraussetzen, dass ich ein [a,b] ein kompaktes Intervall ist. Denn Dein Beispiel mit 1/x ist ja auch stetig, aber dennoch nicht kompakt... EDIT: sehe ich das richtig, dass es immer ein Minmum gibt, unabhängig davon ob das beschränkte Intervall kompakt ist oder nur berschränkt ? (wenn im Intervall f(x)>0 für alle x gilt) |
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| 08.10.2007, 19:45 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum nicht? Das abgeschlossene Intervall [a,b] ist immer kompakt, da zusätzlich beschränkt.
Nein, es muss schon kompakt sein, sonst kann man stets Gegenbeispiele konstruieren. |
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| 08.10.2007, 19:56 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mmmh, ich sehe es aber richtig, dass ein beschränktes Intervall ein Maxiumum UND Minimum haben muss oder ?? Also hat ein abgeschlossenes Intervall IMMER ein Max und ein Min ?!? danke.:! |
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| 08.10.2007, 20:16 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aber im Fall, dass f konstant ist, fallen Minimum und Maximum zusammen... PS: Lies nochmals mein Beispiel durch. f(x)=1/x erfüllt eben den Satz gerade deshalb nicht, weil das Intervall zwar beschränkt aber NICHT abgeschlossen ist. |
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