SuLösungsansatz

08.10.2007, 20:04	blub85	Auf diesen Beitrag antworten »
SuLösungsansatz Hallo! Ich komme leider auf gar keine Idee wie ich folgendes zu lösen habe: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{ln(x)}}{e^x} = 0 \end{eqnarray}$ Ein Hinweis ist uns noch gegeben: Verwenden Sie für x > 0, dass ln(1+x)<=x ! Kann mir jemand auf die Sprünge helfen!? Ich habe auch schon mal eine Lösungsidee (vielleicht ist das ja die richtige): Wenn ich den Hinweis verwende kann ich den Term wie folgt schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{(ln(1+x))^{ln(x)}}{\sqrt{e^{2x}}} \end{eqnarray}$ und wir hatten einen Satz in der Vorlesung, dass jeder natürliche Log. im Zähler langsamer wächst wie jede beliebige Wurzel im Nenner. Wäre das die Lösung? Danke!
08.10.2007, 21:59	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Tipp konnte ich nicht gebrauchen (dafür ist meine Lösung aber auch nicht schön): Es ist $\begin{eqnarray} \frac{x^{\ln x}}{\mathrm{e}^x}=\mathrm{e}^{(\ln x)^2-x} \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\left((\ln x)^2-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^4-x^2}{(\ln x)^2+x}=-\infty \end{eqnarray}$ folgt die Behauptung. Gruß, therisen
08.10.2007, 22:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch mir zu hoch: Was sieht man an $\begin{eqnarray} (\ln x)^4-x^2 \end{eqnarray}$ , was man nicht schon an $\begin{eqnarray} (\ln x)^2-x \end{eqnarray}$ sieht?
08.10.2007, 22:44	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der letzte Schritt diente nur der Verwirrung
09.10.2007, 14:23	blub85	Auf diesen Beitrag antworten »
dachte schon! Naja, ist denn mein Lösungsansatz ein falscher ?!

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