Abstand von Geraden bestimmen

08.10.2007, 22:51	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von Geraden bestimmen Guten Abend wir spielen mal wieder eine lustige Runde "Finde den Fehler" Nein quatsch, im Ernst, könnte mir bitte Jemand behilflich sein, bei der Fehlersuche? Ich finde ihn einfach nicht. Bestimmen Sie den Abstand der Geraden: $\begin{eqnarray} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E:-3x_1-2x_2+2x_3=-22 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -12-2-4s+8-2s=-22 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -6s=-16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s=\frac{8}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(4/\frac{19}{3}/\frac{4}{3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{PS} =-\vec{P_p} +\vec{P_s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{PS}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{7}{3} \\ \frac{7}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid\vec{PS}\mid=\sqrt{(\frac{7}{3})^2+(\frac{7}{3})^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid\vec{PS}\mid=\frac{\sqrt{98}}{3}LE \end{eqnarray*}$
08.10.2007, 23:13	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte 3 Längeneinheiten für den Abstand der beiden Geraden, habe aber einen völlig anderen Lösungsansatz gewählt.
08.10.2007, 23:21	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wir haben das in der Schule auch anders gemacht (über cosinus und Kreuzprodukt) und 3 LE raus. Ich wollte es jetzt aber nochmal auf diese Weise rechnen.
09.10.2007, 10:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleibe lieber bei dem anderen Weg oder verwende einfach $\begin{eqnarray} d = \frac{(\vec{p_1} - \vec{p_2}) \cdot \vec{n}}{\mid \vec{n} \mid} = (\vec{p_1} - \vec{p_2}) \cdot \vec{n_0} \end{eqnarray}$ wenn es nur um den Abstand geht. Da braucht's auch keinen Cosinus... Im Zähler steht die Differenz zweier beliebiger Stützpunkte auf je einer der beiden Geraden, im Nenner der Betrag des Normalvektors auf beide Richtungsvektoren bzw. ist $\begin{eqnarray} \vec{n_0} \end{eqnarray}$ der normierte Normalvektor.. Das, was du gemacht hast - Normalebene zu einer Geraden mit der anderen Geraden geschnitten - ist schlicht und ergreifend falsch, weil da irgendeine Länge rauskommt, nur nicht der kürzeste (Normal-) Abstand. Unter einer einzigen Ausnahme funktioniert jedoch diese Methode auch, nämlich dann, wenn die beiden Geraden parallel sind. mY+
09.10.2007, 14:37	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, wir haben in der Schule die gleiche Formel benutzt, wir haben das nur über den Cosinus hergeleitet. Danke
09.10.2007, 18:03	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch folgende Hilfsebene $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ einführen: $\begin{eqnarray} H:\quad -\frac17(-2x_1-3x_1-6x_3+14)=0 \end{eqnarray}$ (Hessesche Normalenform) Nach Konstruktion (die ich hier weggelassen habe) gilt $\begin{eqnarray} g\subseteq H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h\\|H \end{eqnarray}$ . Durch "Einsetzen" eines beliebigen Punktes aus h erhält man den gesuchten Abstand 3. Gruß, therisen
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