Grenzwert einer geometrischen Folge

09.10.2007, 00:01

DerHochpunkt

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Grenzwert einer geometrischen Folge

$\begin{eqnarray*} a + a(1+a)^{-1} + a(1+a)^{-2} + a(1+a)^{-3} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ habe ich a. Für $\begin{eqnarray*} q = (1+a)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Laut Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ . Daher $\begin{eqnarray*} |q| = |(1+a)^{-1}| < 1 \end{eqnarray*}$ .

Somit konvergiert die Folge. Der Grenzwert ist...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~{a \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte als Ergebnis...

$\begin{eqnarray*} a \frac{\frac{1}{(1 + a)^{n+1}} - 1}{\frac{1}{1 + a} - 1} \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 00:09

tigerbine

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RE: Grenzwert einer geometrischen Folge
Geom. Folge oder geom. Reihe ?

09.10.2007, 00:14

DerHochpunkt

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In der Aufgabe steht Reihe...

Ich hatte Folge geschrieben, weil ich dachte, beides sei das selbe.

09.10.2007, 00:16

tigerbine

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Fragt sich dann warum den Titel Folge gewählt hast unglücklich

unglücklich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a + a(1+a)^{-1} + a(1+a)^{-2} + a(1+a)^{-3} \end{eqnarray*}$

Was soll das sein?

09.10.2007, 00:21

DerHochpunkt

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sorry mehr steht in der aufgabenstellung nicht bei... nur was du gerade zitiert hast...

09.10.2007, 00:24

tigerbine

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Auch keine ... dabei? Weil so ist das ja nun mal keine Reihe geschockt

geschockt

Abgesehen davon, dass wir nun diskutieren könnten, ob die Punkte eine eindeutige Fortsetzung zulassen, wie lautet denn der genaue Wortlaut deiner Aufgabenstellung. Da wird ja nicht nur mein Zitat stehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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09.10.2007, 00:43

DerHochpunkt

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ich habe etwas wichtiges vergessen

$\begin{eqnarray*} a + a(1+a)^{-1} + a(1+a)^{-2} + a(1+a)^{-3} + ... \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es.

09.10.2007, 01:01

tigerbine

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Ich führe nun meine Spitzfindigkeiten nicht weiter fort, da ... oft verwendet werden, aber nicht exakt sind (Ein Link zum Thema Folgen). Hier sollen wir wohl auf folgende Fährte gelockt werden.

(Geometrische) Folge

$\begin{eqnarray*} a_0=a > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1= a \cdot \frac{1}{(1+a)^1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = a \cdot \frac{1}{(1+a)^2} = a_1 \cdot \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} a_n=a \cdot \frac{1}{(1+a)^n} \end{eqnarray*}$

endl. (Geometrische) Reihe

$\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=0}^n~a \cdot \frac{1}{(1+a)^k} \end{eqnarray*}$

unendl. Geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~a \cdot \frac{1}{(1+a)^k} \end{eqnarray*}$

Gefragt war dann wohl, ob/wann diese Reihe konvergiert. Dafür greifst Du auf einen (schon bewiesenen Satz zurück), aus dem man folgende die Bedingung kennt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+a}| \stackrel{!} < 1 \end{eqnarray*}$

Dies ist aufgrund von a > 0 immer erfüllt somit konvergiert die unendliche Reihe gegen der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} S = a \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+a}} \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 01:21

DerHochpunkt

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$\begin{eqnarray*} |q| = |(1+a)^{-1}| < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+a}| \stackrel{!} < 1 \end{eqnarray*}$ scheinen ein und das selbe zu sein.

Darum frage ich mich, was der Unterschied ist, zwischen der Formel, die du verwendest und derjenigen, die ich im Buch gefunden habe.

$\begin{eqnarray*} S = a \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~{a \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q = (1+a)^{-1} \end{eqnarray*}$

Führen beide zum selben Ergebnis?

09.10.2007, 01:37

tigerbine

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Zunächst bin ich in diesem Thread einmal auf die "schlampige" Formulierung der Aufgabenstellung eingegangen. Es betrifft nicht nur Dich, häuft sich aber in letzter Zeit wieder massiv, dass man sich hier zusammenreimen muss, was die eigentliche Aufgabe ist.

Dann habe ich versucht die Aufgabe+Lösung einmal sauber zu notieren. Das "!" soll verdeutlichen, dass es hier etwas zu überprüfen gilt, und es sich a priori nicht um eine allgemein gültige Aussage handelt. Ob nun erst mit q, Bruch oder ^{-1} geschrieben ist da egal.

Nun zum Grenzwert. Wenn Du es mit q schreiben willst, dann lautet die n-te Partialsumme

$\begin{eqnarray*} s_n=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das ist aber etwas anderes als das S. Das ist der Grenzwert (sofern er existiert):

$\begin{eqnarray*} S:=\lim_{n\to \infty}~s_n = a \cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 02:06

DerHochpunkt

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Danke. Jetzt bin ich einen Schritt weiter.

Reicht es $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ einzusetzen oder sollte man auch vereinfachen (falls möglich)?

Ich hätte sonst als Lösung $\begin{eqnarray*} s = 1 +a \end{eqnarray*}$ heraus...

09.10.2007, 02:26

tigerbine

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Theoretisch würde die Angabe

$\begin{eqnarray*} S = a \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+a}} \end{eqnarray*}$

reichen. Wenn Du etwas vereinfachst, schadet es nichts, wenn du hier auch die Zwischenschritte angibst Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} S = a \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+a}} = \frac{a}{\frac{1+a-1}{1+a}} = \frac{a}{\frac{a}{1+a}} = 1+a \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 02:37

DerHochpunkt

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Vielen Dank für die Bestätigung des Ergebnisses.

Mein Dozent hat da völlig anders (falsch) gerechnet.

09.10.2007, 02:38

tigerbine

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Und was hat der gemacht? Erstaunt1

Erstaunt1

09.10.2007, 02:57

DerHochpunkt

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Ich poste dir morgen. Jetzt will ich den anderen Rechner nicht nochmal anmachen.

09.10.2007, 03:29

tigerbine

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Alles klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2007, 10:14

Dual Space

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
Mein Dozent hat da völlig anders (falsch) gerechnet.

Bedenke, dass dein Dozent die Stelle bekommen hat, weil er über die erforderlichen Qualifikationen verfügt. Ich würde also behaupten, dass du in diesem Falle die Aufgabe vielleicht immer noch nicht ganz vollständig wiedergegeben hast.

Um seinem Dozenten Unwissenheit zu unterstellen muss man die Nase schon ziemlich hoch tragen.

09.10.2007, 10:58

DerHochpunkt

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das war nicht meine absicht, ihn schlecht zu reden.

ich poste mal, was sein ergebnis was:

Zitat:

Aufgabe 29

= a * ((1/(1+a)^n - 1)/(1/(1+a) - 1))

Ps: Wegen der Form: Das ist seine From.

09.10.2007, 11:23

klarsoweit

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Dann ist es die endliche geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~q^k = \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ und du hast das Ergebnis des Dozenten. Im übrigen gilt obiges für alle a <> -1 und a <> 0.

Nochmal der Hinweis: es ist fürchterlich schwer, aus hingeworfenen Brocken den mathematischen Zusammenhang bzw. deine Fragestellung zu ermitteln. geschockt

geschockt

09.10.2007, 12:37

DerHochpunkt

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In der Aufgabenstellung steht aber nichts von einer endlichen Reihe. Wie kann ich denn nun unterscheiden, ob es sich um den Grenzwert einer endlichen oder unendlichen geometrischen Reihe handelt

09.10.2007, 12:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
... Aufgabenstellung ...

Welche Aufgabenstellung? verwirrt

verwirrt

Bisher ist es nicht gelungen, die Aufgabenstellung im originalen Wortlaut hier reinzustellen.

Zitat:

Original von DerHochpunkt
Wie kann ich denn nun unterscheiden, ob es sich um den Grenzwert einer endlichen oder unendlichen geometrischen Reihe handelt

Es gibt nur den Grenzwert für n gegen unendlich einer endlichen geometrischen Reihe. Dieser wird dann unendliche geometrische Reihe genannt.

Letzteren erkennt man an den Schreibweisen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~q^k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~s_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=0}^n~q^k \end{eqnarray*}$ oder an der "Pünktchenschreibweise":
$\begin{eqnarray*} 1 + q + q^2 + q^3 + ... \end{eqnarray*}$

09.10.2007, 12:53

mYthos

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Einen Grenzwert kann nur eine unendliche Folge/Reihe haben. In deinem Falle war es aber die Summe von endlich vielen Gliedern!

Ärgerlich ist hier die unklare Aufgabenstellung bzw. deine irreführende Überschrift.

Und auch noch was anderes: Auch wenn du das in einer HS vorgesetzt bekommst, ist das immer noch Schulstoff. Ich würde es also gerne verschieben, ist das OK für die anderen?

EDIT: Mein Irrtum, ist Ana ...

mY+

09.10.2007, 12:54

klarsoweit

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Nein. Bei dem Thema überschneidet sich halt mal Schul- und Hochschulstoff.

09.10.2007, 12:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte gern wissen, was daran HS Stoff ist, kläre mich auf ..

EDIT:
OK, bei der Analysis hab' ich mich vertan, sorry

mY+

09.10.2007, 13:02

tigerbine

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HS oder S ist mir (nicht ganz) egal. Mich ärgert es hier, dass ich zig mal nachgefragt habe, was die Aufgabenstellung ist, und am Ende kommt es dann doch wieder zu einer überraschenden Wendung. Da hab ich keine Lust mehr. Man wird wohl noch (gerade) von jemandem, der die allgemeine Hochschulreife erworben hat erwarten können, dass er es zumindest schafft die Aufgabe sauber und mit Verwendung des Formeleditors einzustellen. unglücklich

unglücklich

09.10.2007, 13:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
Ich möchte gern wissen, was daran HS Stoff ist, kläre mich auf ..

Bei den Erstsemestern hat man zwangsläufig das Problem, daß da naturgemäß ein Teil des Schulstoffes teilweise aber mit weiterführenden Aspekten wiederholt wird. Man kann jetzt nicht zwangsläufig erwarten, daß jeder Hochschüler das Niveau seiner Frage daraufhin abklopft, ob es nicht doch möglicherweise Schulstoff ist. Da der Stoff offensichtlich aber an einer Hochschule gelehrt wird, würde ich das jetzt nicht so kleinlich betrachten und jedesmal eine Verschiebe-Aktion anleiern.

09.10.2007, 13:24

mYthos

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Zitat:

Original von klarsoweit
...
Da der Stoff offensichtlich aber an einer Hochschule gelehrt wird, würde ich das jetzt nicht so kleinlich betrachten und jedesmal eine Verschiebe-Aktion anleiern.

Bitte? "Anleiern" tue ich gar nichts! unglücklich

unglücklich

Die Administration hat schon einmal klargestellt, dass es nicht darauf ankommt, WO der Stoff gelehrt wird, sondern aus welchem Sachgebiet er kommt bzw. welchem Anforderungsprofil er zuzuordnen ist.

Den Fragesteller trifft kein Vorwurf, er kann/muss das im Zweifel auch gar nicht selbst entscheiden, das tun ja dann die Moderatoren, wenn sie das Thema in den richtigen Bereich verschieben.

Ich werde die Problematik nochmals im ModForum zur Sprache bringen, hier wird's OT.

mY+

09.10.2007, 19:54

DerHochpunkt

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Hier die vollständige Aufgabe.

09.10.2007, 20:41

mYthos

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Wenn DAS die gegenständliche Aufgabe ist, dann ist es selbstverständlich eine unendliche geometrische Reihe.

Das Ergebnis des Dozenten kann nicht das endgültige Resultat sein, wohl aber ein Zwischenergebnis*, in welchem nun noch der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durchzuführen ist!
Rechne dies durch und beachte a > 0

* Die Summe von n Gliedern der g.R.

mY+

09.10.2007, 20:47

Dual Space

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
Hier die vollständige Aufgabe.

Ich verstehe nicht was das Problem dabei war diese Aufgabe hier von Anfang an korrekt wiederzugeben. verwirrt

verwirrt

Sei es drum ....

09.10.2007, 20:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Wenn DAS die gegenständliche Aufgabe ist, dann ist es selbstverständlich eine unendliche geometrische Reihe.

Jupp, und wir können die Rechnungen von letzter Nacht stehen lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

BTW Was ist das denn für ein seltsames Aufgabenbuch unglücklich

unglücklich

09.10.2007, 20:51

DerHochpunkt

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Das ist eine Sammlung von Aufgaben... die dann alle hintereinander kopiert wurden. Das sind Aufgaben aus Klausuren von etwa 2000-6 von der Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 & 2 von der Uni Hamburg...

09.10.2007, 20:55

tigerbine

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Ich fand Skripte von der Uni Hamburg bislang ganz gut. aber ist ja auch Mathe für WiWis, das klärt doch einiges Big Laugh

Big Laugh

( 5€ in die Läster-Kasse)

Im Ernst, so eine Aufgabenstellung dürfte in einer Analysisklausur nicht dran kommen. Warum die Punkte eine beliebte Schreibweise sind ist schon klar, warum man damit aber auf wackeligen beinen steht zeigt mein obiger Link.

LG Wink

Wink

09.10.2007, 21:05

DerHochpunkt

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Ich bin mit den Klausuraufgaben auch nicht immer einverstanden. Ich bin schon auf mehrere gestoßen, besonders Statistik (was hier vielleicht nicht relevant ist?) in denen schwerwiedende logische Fehler waren (falsche Zahlenwerte zum rechnen usw.). Das finde ich ziemlich scheiße...

09.10.2007, 21:31

tigerbine

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Da kann ich nun auch nichts machen. Da die Aufgabenstellung so aber nicht genug für eine Analysis Vorlesung hergibt, ziehen wir mal um die in Schulmathematik. Wink

Wink

09.10.2007, 22:25

DerHochpunkt

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Puhhh!! Was ich hier schon für gebiete gestreift habe mit meiner Aufgabe...

Algebra - Analysis - Algebra - Schulanalysis geschockt

geschockt

09.10.2007, 22:29

tigerbine

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Folgen und Reihen gehören schon in die Analysis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bleibt nur die Frage HS oder S. Gerade die Geometrische Reihe kommt meist schon in der Schule dran, und da wir hier nichts anderes gemacht haben , als eine für den Grenzwert eine bekannte Formel zu benutzen, kann man das getrost in die Schule packen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2007, 22:47

DerHochpunkt

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Na gut.

Big Laugh

09.10.2007, 23:27

mYthos

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Nett, dass du das erlaubst Big Laugh

Big Laugh

mY+

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