einfacher von Normalen- zu Parameterform?

09.10.2007, 15:42

valina

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einfacher von Normalen- zu Parameterform?

Erst mal tut es mir leid, dass ich euch hier so dermaßen mit meinen Verständnisproblemen löchere.. aber es kommt noch was Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der nächsten Aufgabe sollen wir die Schnittgerade ermitteln. Beide Ebenen sind in Normalenform angegeben, Tipp am Rand besagt, dass man es in 'geigenetere Formen' umwandeln soll.

Ich würde das ganze in Paramterform umwandeln, weil ich dann ja mit einem Gleichungssytem arbeiten kann.

Nun ist meine Frage, ob man wenn man von der Normalen- zur Parameterform wechseln will das irgendwie auch direkt machen kann, oder ob es schon sinn macht, auf koordinatenform zur Paramterform zu gehen..

09.10.2007, 16:17

PG

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Ich persönlich sage immer: Die Normalenform ist die Koordinatenform, doch nur die Schreibweise ist anders.
Schreibe das ganze in Normalenform und bilde dann eine Matrix, die du lösen kannst.
Das ist ziemlich einfach. Versuchs mal.

09.10.2007, 16:51

valina

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die normalenform hab ich ja gegeben.
das kapitel matrix haben wir komplett übersprungen, von daher kann ich damit auch nicht arbeiten..

09.10.2007, 16:58

derkoch

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Überführung Parameterform/Koordinatenform

09.10.2007, 17:02

valina

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ähm.. das weiß ich doch.. meine frage war nur, ob das irgendwie einfacher geht, oder ob ich wirklich den 'umweg' über die koordinatenform gehen muss

09.10.2007, 18:07

PG

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Am einfachsten meiner Meinung nach geht es mit der Umformung zur Koordinatenform(2 sek) und anschließend aufstellen einer Matrix(5sek). Das verrechnest du(max. 15sek) und und anschließend siehst du, welche Beziehung- ob identisch oder echt parallel oder doch Schnittmenge(1 sek) und stellst in diesem Fall eine Schnittgerade dar(max. 15 sek).

Man kann sagen- in ungefähr 1min hat man das Ganzen.

Wenn du es in Parameterform umwandelst, nimmt es schon etwas mehr Zeit in Anspruch( mehr Denken Big Laugh

Big Laugh

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09.10.2007, 19:28

valina

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na, da ich aber matrix nie gemacht hab und das in unsrem doofen buch nich einmal auftaucht, kann ich das nich machen sondern muss mehr denken ^^ doof

09.10.2007, 21:34

mYthos

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Man kann es dennoch mit der Koordinatenform und ohne Matrix machen, wie in

schnittgeradenbestimmung zweier ebenen; zwei koordinatengleichungen

mY+

10.10.2007, 00:49

PG

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Zitat:

Original von mYthos
Man kann es dennoch mit der Koordinatenform und ohne Matrix machen, wie in

schnittgeradenbestimmung zweier ebenen; zwei koordinatengleichungen

Ich hätte es doch erwähnen sollen... Das Aufstellen einer Matrix bedeutet eine kürzere Schreibweise für Gleichungen. D.h., dass du mit der Koordinatenform 2 Gleichung hast, bei der du 1 Variable elimieren kannst. Bei der Matrix wird das Additionsverfahren angewandt. Ist also bloß eine kürzere Schreibweise.

Also ist die Weiterleitung auf diese Seite bloß das Zeigen der Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier Ebenen mit 2 Gleichungen nicht in Matrix-Schreibweise.

10.10.2007, 18:25

valina

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also ich hab das eben grad mal gemacht und bin mir ziemlich sicher, dass damit irgendwas nicht stimmt..

gegeben: $\begin{eqnarray*} E: [\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ] * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F: [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} ] * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe beide erst in Koordinatenform umgeformt:

E: -x1 + 2x2 + 3x3 -2 = 0 und F: x1 + x2 + x3 -1 = 0

dann in Parameterform:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + j \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} F:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist bis dahin alles richtig? oder habe ich da schon fehler gemacht?

10.10.2007, 20:12

mYthos

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Bei den Ebenengleichungen in Vektorform bei der Angabe fehlt ... = 0, sonst sind es keine Gleichungen. Ansonsten stimmen die Parametergleichungen. Wie willst du nun weiter verfahren?

mY+

10.10.2007, 21:21

valina

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jaaaaa, das hab ich nur irgendwie verschlunst mit einzutippen.. das war ja schon angegeben.

nu hab ich das LGS aufgestellt..

-2+2j+3m = 1 - v - k
j = v
m = k

dann hab ich unten das m eliminiert, damit wieder ein j drin gehabt, welches ich mit der zweiten gleichung eleiminiert hab, so dass in der unteren zeile dies hier stand:

-2 = 1 - 3v - 4k

das nach v aufgelöst ergab: v = 1 - $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ k

so.. nu das ganze in die ebenengleichung mit dem v einsetzen.. und auflösen.. aber da hört es schon auf..

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 - \frac{4}{3} k \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.10.2007, 21:44

mYthos

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In deiner Lösung fehlt eine Klammer, sonst ist sie richtig:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (1 - \frac{4}{3} k) \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die Lösung eine Gerade in Parameterform sein muss, muss ja EIN Parameter stehen bleiben, dieser ist das k!

Multipliziere nun noch aus, addiere die Ortsvektoren zum Stüzpunkt, die Vektoren in der Klammer nach Ausklammern von k ergeben den Richtungsvektor!

Dann bist du fertig.

mY+

10.10.2007, 21:46

valina

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das ist mir ja alles klar, nur irgendwie weiß ich nich so ganz, wie.. eben wegen der klammer.. sowas hatten wir noch nie.. und ich weiß eben nich, wie ich das verrechnen muss.. brett vor kopf syndrom...

10.10.2007, 21:53

mYthos

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Kannst du trotzdem noch das Ergebnis hinschreiben? Es ist ja gleich fertig! Oder klappt das mit dem Ausmultiplizieren noch nicht?

mY+

10.10.2007, 21:55

valina

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genau am ausmultipliziren hängt es...

10.10.2007, 22:12

mYthos

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$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (1 - \frac{4}{3} k) \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} k \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \left[\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right] \end{eqnarray*}$

Zur letzten (3.) Zeile: Da bei k der Richtungsvektor steht, kannst du diesen in der 2. Zeile mit 3 multiplizieren, sozusagen verlängern, damit du keine Brüche dort hast. Beim Stützpunkt geht dies übrigens nicht.

Kannst du noch dem Resultat den letzten Schliff geben, indem du bei k die beiden Vektoren addierst?

mY+

10.10.2007, 22:14

valina

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also den ersten schritt kann ich noch nachvollziehen, aber was genau passiert danach?

10.10.2007, 22:17

mYthos

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Ausmultiplizieren nach dem Distributivgesetz!

$\begin{eqnarray*} (r - s) \cdot \vec{v} = r \cdot \vec{v} - s \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

mY+

10.10.2007, 22:22

valina

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ich meinte ehr an der stelle mit dem -4/3 wie kommt man darauf, das mit den beiden 'klammern' zu multipizieren und warum gerade in dieser reihenfolge?
darf man das immer so machen?
hab ja nun noch einige aufgaben von diesem typ vor mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.10.2007, 22:38

mYthos

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$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{4}{3} k) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{4}{3} k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Klar?

mY+

10.10.2007, 22:42

valina

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ja, da ist ja nichts schweres dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.10.2007, 23:16

mYthos

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Dann kommst du nun problemlos bis zum Ende?

mY+

10.10.2007, 23:38

valina

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nein!!
du hast doch vorhin die 4/3 irgendwie anders auf die beiden komponenten verteilt, das sieht mir irgendwie symphatischer aus. gibt es dazu irgendeine regel oder wie oder was oder wie kommt man drauf?

11.10.2007, 00:03

mYthos

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Die Regel war, dass man (nur) den Richtungsvektor, das ist der, welcher beim k steht, beliebig verlängern kann, bis keine Brüche mehr in ihm stehen.

Bei k stehen die beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \ldots + k \cdot \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt klammern wir k aus und tun in der Klammer zuerst mal schön langsam addieren:

$\begin{eqnarray*} \ldots + k \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \ldots \end{eqnarray*}$

So, jetzt setze statt k einfach 3k, d.h. du kannst den Vektor mit 3 multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \ldots + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \ldots \end{eqnarray*}$

Etwas anders gerechnet, aber dafür für dich sicher jetzt glasklar Big Laugh

Big Laugh

mY+

11.10.2007, 00:08

valina

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jetzt komm ich mir veräppelt vor traurig

traurig

wollt doch nur noch wissen, ob man immer zähler und nenner in der weise auf die beiden 'klammern' verteilen darf... ob ich mir das so merken darf oder lieber rumrechnen soll..

11.10.2007, 00:18

mYthos

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geschockt

Also das Letzte ist, dich veräppeln zu wollen. Um diese Zeit hätte ich wahrlich was anderes zu tun! Ich hatte bis jetzt den Eindruck, dass du das Verlängern des Richtungsvektors noch immer nicht begriffen hast (sonst hättest du auch nicht immer wieder neu gefragt!) und wollte dir das auf irgendeine Weise nahebringen. Ich habe mich bemüht, dir das mehrmals zu zeigen, dennoch lassen deine Fragen auf große Unsicherheit schliessen, so ist es.

Es wird nichts "verteilt", schon gar nicht Zähler und Nenner. Rechne es lieber so, wie zum Schluss beschrieben, das ist sicher und fang' nicht gleich zu weinen an.

Und nun wünsche ich dir eine gute Nacht.

mY+

16.10.2007, 22:23

valina

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na, deine antworten haben sich immer so angehört, als hättest du nicht genau gewusst, was ich nicht verstanden habe, weshalb ich das selbe auch immer wieder anders formuliert gefragt habe..

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