Binomialkoeffizienten - Rechentips?

09.10.2007, 17:03

fraggelfragger

Binomialkoeffizienten - Rechentips?

Hallo Leute,

Ich hät da mal ne Frage zu Binomialkoeffizienten,

dazu eine Beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^5 = a^5 + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} a^4b +\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} a^3b^2 +\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} a^2b^3 +\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} ab^4 + b^5 \end{eqnarray*}$

so nun ist es daran die Koeffizienten auszurechnen.

da benutzt man die Formel: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Meine Frage dazu lautet:
Wie kann man diese Koeffizienten im Kopf ausrechnen gibts da tricks? Meist wenn ich die Formel im Kopf anwende verrechne ich mich, ich kürze halt im Kopf. Gibbet da eine bessere Möglichkeit? Hab da mal was von Passcalischen Dreieck gehört bringt das mir hier was?

Danke für eure Hilfe

mfg fraggelfragger

09.10.2007, 17:11

cst

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RE: Binomialkoeffizienten - Rechentips?
Ja, das Pascalsche Dreieck enthält genau die Binomialkoeffiizienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {l|ccccccc}(a+b)^0&&&&1\\ (a+b)^1&&&1&&1\\ (a+b)^2&& 1 & & 2 & & 1 \\(a+b)^3& 1 &&3&&3&&1\end{array} \end{eqnarray*}$

Aus der Letzten Zeile kannst du direkt ablesen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 1; ~\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 3;~\ldots \end{eqnarray*}$

Außerdem haben die meisten Taschenrechner eine nCr - Taste: 5 nCr 3 ergibt 5 über 3, also 10.

cst

09.10.2007, 17:14

pseudo-nym

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Ja, das Pascalsche Dreieck birngt hier was.

Willst du $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ berechnen, suchst du in der n-ten Zeile den k-ten Eintrag. Beachte aber, dass du bei 0 mit dem Zählen anfangen musst.
(Alternativ kannst du auch einfach die n+1-te Zeile und den k+1 Eintrag hernehmen und ganz normal ab 1 zählen.)

09.10.2007, 17:14

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Die Fakultätsdefinition des Binomialkoeffizienten ist ja theoretisch sehr schön. Wenn man keine Fakultätsfunktion rechentechnisch zur Verfügung hat, ist bei konkreten Rechnungen aber die allgemeinere Definition des Binomialkoeffizienten vorzuziehen.

Das sollte man gegebenfalls aber auch noch kombinieren mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$ , indem man die kleinere der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ bei der Berechnung benutzt!

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \binom{10}{7} = \binom{10}{10-7} = \binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} = 10\cdot 3\cdot 4 = 120 \end{eqnarray*}$ .

Pascalsches Dreieck ist eine andere Möglichkeit, ja. Kann aber bei großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehr aufwändig sein, das erst aufzumalen. Augenzwinkern

09.10.2007, 17:44

fraggelfragger

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Wow das ging ja schnell smile

aha also Pascal sche Dreieck nur bei kleinen n benutzen okey,

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das sollte man gegebenfalls aber auch noch kombinieren mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$ , indem man die kleinere der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ bei der Berechnung benutzt!

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \binom{10}{7} = \binom{10}{10-7} = \binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} = 10\cdot 3\cdot 4 = 120 \end{eqnarray*}$ .

Diese Methode ist ja super!

[/quote]

09.10.2007, 17:55

Leopold

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Und noch etwas ...

Viele haben einen Taschenrechner, wissen aber gar nicht, was der alles kann. So gibt es auf vielen Taschenrechnern die nCr-Taste (meist als Zweitfunktion mit Shift oder ähnlich zu bekommen). Mit ihr kann man Binomialkoeffizienten "n über k" ausrechnen: erst n eingeben, dann nCr drücken, dann k eingeben, dann auf die Gleich-Taste drücken.

Und mit der nPr-Taste kann man die rücklaufenden Produkte angeben, die in Zähler und Nenner in Arthurs Beispiel vorkommen. Um etwa 10·9·8 zu berechnen, drückt man 10 nPr 3, dann die Gleich-Taste.

09.10.2007, 19:56

fraggelfragger

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Zitat:

Original von Leopold

Und mit der nPr-Taste kann man die rücklaufenden Produkte angeben, die in Zähler und Nenner in Arthurs Beispiel vorkommen. Um etwa 10·9·8 zu berechnen, drückt man 10 nPr 3, dann die Gleich-Taste.

klasse !! das wusste ich noch nicht, ich habe beide tasten an meinem Rechner

mfg

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