differentialgleichung dritter ordnung - Seite 2

11.10.2007, 09:46

ice-mone

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ach so! mein möchtegern ansatz kam mir auch gleich spanisch vor!

wie mach ich das denn? betimme ich die werte für $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ usw. durch ausprobieren? oder setze ich $\begin{eqnarray*} y_(0)_1 = C_1 * e^{0} \end{eqnarray*}$ wonach $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ja dann null sein muß damit $\begin{eqnarray*} y_(0) = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

11.10.2007, 09:52

klarsoweit

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Auch da ist mir rätselhaft, was du denkst. Mir scheint, du hast noch nie eine DGL mit Anfangswerten gelöst. Nochmal: wir haben
$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Nun schreib doch mal hin, was y(0) ist.

EDIT: nicht die einzelnen Lösungen müssen die Anfangswerte erfüllen, sondern die zusammengesetzte allgemeine Lösung.

11.10.2007, 10:05

ice-mone

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mit deiner vermuting liegst du garnicht mal so falsch! Augenzwinkern

Augenzwinkern

deshalb ein richtig dickes dankeschön nochmal! du bist mir ne verdammt große hilfe!

für y(0) = $\begin{eqnarray*} c_1 * 1 + c_2 * 1 + c_3 * 1 \end{eqnarray*}$

bedeutet das dann alle c = -1 ? für die anderen bedingungen bilde ich y' und y''?

11.10.2007, 10:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von ice-mone
für y(0) = $\begin{eqnarray*} c_1 * 1 + c_2 * 1 + c_3 * 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du noch "= 0" hinten dranschreibst, haben wir die 1. Gleichung.

Zitat:

Original von ice-mone
bedeutet das dann alle c = -1 ?

Nöö, wieso? Dann wäre ja y(0)=-3. Es könnte auch c_1 =1, c_2 =-2 und c_3 = 1 sein.

Zitat:

Original von ice-mone
für die anderen bedingungen bilde ich y' und y''?

Ja.

11.10.2007, 10:21

ice-mone

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ok stimmm hab ich auch schon bemerkt das -1 nicht stimmen kann!

mußte dann doch c = 0 sein oder?

und ist y' dann =2 anstatt =0?

11.10.2007, 10:33

klarsoweit

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Heidinei ist das zäh.

Zitat:

Original von ice-mone
mußte dann doch c = 0 sein oder?

Es gibt kein c, sondern c_1, c_2 und c_3.

Zitat:

Original von ice-mone
und ist y' dann =2 anstatt =0?

Nicht y' ist 2, sondern y'(0)=2.
Bestimme erstmal y'(x).

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11.10.2007, 10:55

ice-mone

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also $\begin{eqnarray*} y'(x) = c_1 \cdot x e^{x} + c_2 \cdot 2x e^{2 x} + c_3 \cdot x e^{-x} \end{eqnarray*}$

dies dann y(0) = 2

11.10.2007, 10:57

ice-mone

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noch mal zu y(0) da ist dann $\begin{eqnarray*} c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3 = 0 \end{eqnarray*}$

11.10.2007, 11:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von ice-mone
also $\begin{eqnarray*} y'(x) = c_1 \cdot x e^{x} + c_2 \cdot 2x e^{2 x} + c_3 \cdot x e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wie leitest du denn ab? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von ice-mone
noch mal zu y(0) da ist dann $\begin{eqnarray*} c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Nöö, wieso? Schau hier:

Zitat:

Original von ice-mone
für y(0) = $\begin{eqnarray*} c_1 * 1 + c_2 * 1 + c_3 * 1 \end{eqnarray*}$

Wieso sollten dann c_1 = c_2 = c_3 = 0 sein? verwirrt

verwirrt

Ebenso könnte - wie ich schon sagte - c_1 =1, c_2 =-2 und c_3 = 1 sein.

Natürlich könnte es sein, daß c_1 = c_2 = c_3 = 0 sind. Dann wäre aber y(x) die Nullfunktion. Die ist natürlich immer eine Lösung der homogenen DGL. Aber deren Ableitung wäre ebenfalls die Nullfunktion, was sich dann mit der Bedingung y'(0)=2 beißen würde.

Hier mal ein paar mögliche Funktionen:

Alle Funktionen erfüllen die DGL und die Bedingung y(0)=0. Allerdings müssen ja noch 2 andere Anfangsbedingungen erfüllt. Ob eine von den 3 Beispielen das tut, sei dahingestellt.

Frage am Rande: was studierst du eigentlich bzw. wieso mußt du dir das antun, da du in Mathe - ich formuliere mal vorsichtig - eher nur mäßig durchblickst?

11.10.2007, 13:39

DerHochpunkt

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Hier wurde noch nicht wirklich erklärt, wie man beim Rechnen mit DGL und Anfangsbedingungen vorgeht.

Du hast errechnet:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Und du hast gegeben:

$\begin{eqnarray*} y(0)=0 ; y*(0)=2 ; y**(0)=0 \end{eqnarray*}$

Du kannst also mit Hilfe eines LGS die Werte für c_1 , c_2 , c_3 bestimmen. Dafür gehst du wie folgt vor: Du leitest y(x) zweimal ab, setzt in y den Wert 0 ein und die Gleichung gleich 0 , in die erste Ableitung setzt du 0 ein und setzt die Gleichung gleich 2 und in die zweite Ableitung setzt du 0 ein und setzt die Gleichung gleich 0.

Dazu leitest du zuerst ab:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{x} + 2*c_2 \cdot e^{2 x} - c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{x} + 4*c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Dann setzt du die Werte aus den Anfangsbedingunen ein:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{0} + c_2 \cdot e^{2*0} + c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} -c_3 \cdot e^{-0} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y** = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} + -c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Achtung: e^0 = 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt hast du ein LGS. Dieses kannst du nun lösen.

Mein Tipp: Schau dir an, wie man e-Funktionen ableitet, denn das scheinst du nicht zu beherrschen. Ist aber wichtig für deine Klausuren. Falls dir das Lösen von LGS Probleme bereitet, solltest du dich im Internet umschauen.

11.10.2007, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
Hier wurde noch nicht wirklich erklärt, wie man beim Rechnen mit DGL und Anfangsbedingungen vorgeht.

Hmm, was soll ich sagen? Ich dachte, ich würde hier die ganze Zeit versuchen, dies zu erklären. Schade daß mir das nicht gelungen ist und du die Arbeit mit einem Streich erledigst.

Und ebenfalls schade daß du die Ableitungen vorrechnest. Das wäre eine Leistung, die ice-mone selbst erbringen sollte.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} y* \end{eqnarray*}$ für eine Ableitung ist auch etwas ungewöhnlich. Üblich ist $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ . Als Strich kann man das Zeichen über dem # auf der Tastatur verwenden.

11.10.2007, 14:42

DerHochpunkt

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Mein Motiv war, das er soviel falsch gerechnet hat-.. Da dachte ich mir, es kann nicht schaden, das ganze mal an einem Beispiel nachvollziehen zu können um es dann später auf weitere rechnungen zu übertragen. das prinzip läuft bei mir immer ganz gut.

ich habe $\begin{eqnarray*} y* \end{eqnarray*}$ gesetzt, weil er bei mir immer $\begin{eqnarray*} y%60... \end{eqnarray*}$ ausgegeben hat. Ich probiere es nochmal...

$\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$

jetzt geht es Big Laugh

Big Laugh

11.10.2007, 15:00

DerHochpunkt

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hallo klarsoweit.

welches programm hast du benutzt für das plotten? ich benutze bisher funkyplot (2D) und gnuplot(3D) aber die grafik sieht echt hübsch aus.

und dann habe ich noch ne frage kann man mit latex auch kurven zeichnen? falls ja, auch in 3D?

11.10.2007, 15:03

DerHochpunkt

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ich habe als determinate von A folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} -\lambda³ + 2\lambda² + \lambda - 2 \end{eqnarray*}$

11.10.2007, 16:13

ice-mone

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erstmal vielen dank an klarsoweit und für das mitleid vom höhepunkt!, du hast mir sehr viel zeit erspart, denn ableitungen sind mal so überhaupt nicht mein fall!

ich denke das lösen eines lgs bekomme ich hin, werd mich später noch mit meinem ergebnis melden!

bei der determinaten hast du recht habs auch nochmal nachgerechnet.

hätte aber auch noch ne frage zu folgender zeile von dir
$\begin{eqnarray*} y** = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} + -c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$
wieso ist da aufeinmal $\begin{eqnarray*} + -c_3 \cdot e^{-0} \end{eqnarray*}$ und davor $\begin{eqnarray*} + c_3 \cdot e^{-0} \end{eqnarray*}$ denke mal da ist das minus zuviel oder?

11.10.2007, 16:17

DerHochpunkt

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mein Fehler es muss natürlich heißen...

Dazu leitest du zuerst ab:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{x} + 2*c_2 \cdot e^{2 x} - c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{x} + 4*c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Dann setzt du die Werte aus den Anfangsbedingunen ein:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{0} + c_2 \cdot e^{2*0} + c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y* = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} -c_3 \cdot e^{-0} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y** = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} + c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$

Das Minus habe beim Übertragen vergessen zu löschen.

Zitat:

erstmal vielen dank an klarsoweit und für das mitleid vom höhepunkt!, du hast mir sehr viel zeit erspart, denn ableitungen sind mal so überhaupt nicht mein fall!

Zeit habe ich dir vielleicht erspart, aber das nützt dir gar nichts, denn in der Klausur musst du es alleine können. Und wenn ich dir bei derart simplen Ableitungen schon Zeit erspare, dann wirst du in der Klausur ziemlich alt aussehen. Mein Tipp daher: Eigne es dir selbst an.

11.10.2007, 16:25

DerHochpunkt

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Eine Frage habe ich:

Ich habe ebenfalls Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raus: 1, -1, 2

Sind diese beliebig vertauschbar?

Also könnte ich statt der Funktion

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

auch schreiben

$\begin{eqnarray*} y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{- x} + c_3 \cdot e^{2 x} \end{eqnarray*}$

?

11.10.2007, 16:31

Dual Space

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Ja, das kannst du.

11.10.2007, 16:33

DerHochpunkt

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Danke.

Mir ist da leider noch ein Fehler unterlaufen, wieder beim Übertragen:

so ist es falsch:
$\begin{eqnarray*} y** = c_1 \cdot e^{0} + 2*c_2 \cdot e^{2*0} + c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$

so ist es richtig:
$\begin{eqnarray*} y** = c_1 \cdot e^{0} + 4*c_2 \cdot e^{2*0} + c_3 \cdot e^{-0} = 0 \end{eqnarray*}$

11.10.2007, 16:35

ice-mone

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ok du hast recht doch es ist ne mündliche nachprüfung und da kommt nur genau die aufgabe drin vor und da ich jetzt den lösungsweg kenne ist nicht mehr ganz so schwer ihn zu beschreib. dehalb tausend dank!
was mich aber zu meine nächsten frage führt. die umwandlung in das system erster ordnung sind die schritte bis zur allgemeinen lösung? oder nur bis dahin wo ich die eigenwerte der matrix ausrechne?
um zum abschluß zu kommen meine werte für die c`s also: $\begin{eqnarray*} C_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C_2 = 0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} C_3 = -1 \end{eqnarray*}$

hoffe ich hab kein fehler bei der auflösung des lgs gemacht und meine fragen sind nicht zu idiotisch...

11.10.2007, 17:20

DerHochpunkt

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Ich habe auch 1 | -1 | 0 raus... Freude

Freude

Eine abschließende Frage:

$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{2 x} + c_3 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wenn dies die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist, wie heißt dann

$\begin{eqnarray*} y(x) = e^{x} - e^{-x} \end{eqnarray*}$

Es kann ja nicht auch die "allgemeine Lösung der homogenen DGL" sein, oder?

Schließlich sind die Koeffizienten hier explizit bestimmt.

11.10.2007, 19:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von ice-mone
was mich aber zu meine nächsten frage führt. die umwandlung in das system erster ordnung sind die schritte bis zur allgemeinen lösung? oder nur bis dahin wo ich die eigenwerte der matrix ausrechne?

Die Umwandlung in das System erster Ordnung sind die Schritte bis einschließlich des Aufstellens der Matrix A. Die Bestimmung der Eigenwerte gehört dann zum Lösungsverfahren.

Dazu noch eine Anmerkung: mir ist nicht so klar, warum man eine lineare homogene DGL in ein System erster Ordnung ummodeln soll. Es bringt keinen Vorteil, allenfalls dient es zur Übung. Normalerweise macht man den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ setzt das ein und erhält eine (in diesem Fall) kubische Gleichung für lambda, die (o Wunder) identisch ist mit der Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte.

11.10.2007, 19:32

ice-mone

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ok vielen dank nochmal.

was das soll frag mal unseren prof. ich weiß es nämlich auch nicht!

um nochmal auf deine frage was ich studier. wirtschaftsingenieurwesen, die restlichen mathe aufgaben kann ich ja soweit aber bei den DGL blick ich einfach nicht durch und so super wie hier hat mir das noch niemand erklären können!

ich hätte da noch zwei aufgaben wo ich absolut nicht weiter komme aber ich denke das würde hier den ramen sprengen....leider

11.10.2007, 19:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von ice-mone
ich hätte da noch zwei aufgaben wo ich absolut nicht weiter komme aber ich denke das würde hier den ramen sprengen....leider

Das käme drauf an. Ich mache gleich Feierabend, aber vielleicht hat jemand anders Zeit. smile

smile

11.10.2007, 19:35

Dual Space

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ice-mone: Starte für neue Aufgaben aber besser auch einen neuen Thread. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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