differentialgleichung dritter ordnung

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ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »
differentialgleichung dritter ordnung
hi

ich komme bei folgender aufgabe nicht weiter, hab noch nicht mal nen ansatz.

löse folgende lineare, homogene differentialgleichung dritter ordnung mit konstanten koeffizienten durch umwandlung in ein system erster ordnung:

y```=2y``+ y`- 2y

zu den anfangsbedingungen: y(0)=0 ; y`(0)=2 ; y``(0)=0

brauche ganz dringend hilfe. also über denkanstöße und lösungsansätze wäre ich sehr dankbar
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: differentialgleichung dritter ordnung
Die Anleitung ist mit der Aufgabe gleich mitgeliefert, du sollst die DGL in ein lineares System erster Ordnung verwandeln. Dazu mache eine geeignete Substitution.

Grüße Abakus smile

**** verschoben zur Analysis (lineare DGL) ****
 
 
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank erstmal. werde mal schaun wie weit ich komme und mich dann nochmal melden
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie komm ich da nicht weiter.....HILFE...

meine frage wäre nun..ich wandle die gleichung in die charakterische gleichung um und lösenach lamda auf und erhalte so die homogene lösung.
die anfangsbedingungen setze ich in den ansatz für die lösung ein und das ergebnis dann in die homogene gleichung. ist das denn nachvollziehbar was ich meine und über haupt soweit richtig? weiß nämlich nicht was das mit dem system erster ordnung zu tun hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das richtig verstehe, müßtest du wie folgt substituieren:




Mit kannst du das in ein System erster Ordnung



mit einer geeigneten Matrix A umformen.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ok thx erstmal...

hab dann für y =-2
y` =1
y``=2+1-2
soweit richtig?

dann ist die matrix A=

und dann? ist Y ne einheitsmatrix?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

oh sorry ich komm mit den latex befehlen noch nicht klar! sorry.

also die matrix sieht so aus A= (-2 0 0
0 1 0
-2 1 2)


weil y=-2
y`=1
Y``= 2+1-2
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
weil y=-2
y`=1
Y``= 2+1-2

Was soll denn das? verwirrt

Bilde doch erstmal Y'. Wie sieht das aus?

Wegen Latex: klicke einfach bei meinem Beitrag auf Zitat und du bekommst den Code.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ok auch auf die gefahr hin das das jetzt völliger unsinn ist, aber ich weiß es halt nicht besser.
ich setze in die ausgangsformel für

ein.

damit erhalte ich dann

ist dann



oder so


oder aber ist beides völliger geistiger müll?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ups der kasten sollte eigentlich sein
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
damit erhalte ich dann

Das ist richtig.

Zitat:
Original von ice-mone
ist dann



oder so


Das ist Unfug.

Eigentlich schade, daß du nicht das machst, was ich gesagt habe. Deshalb nochmal:

Bilde von die Ableitung Y'.

Tipp: benutze als Strich für die Ableitung das Zeichen über dem # auf der Tastatur.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also vorweg schonmal danke für die zeit/mühe die du/sie mir widmen!

es ist dann:

jedoch steh ich dann voll aufem schlauch was y`angeht.
also noch ein versuch. ich kann doch dann schreiben und das dann ableiten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, so kommen wir nicht weiter. Also wir haben



Die Ableitung davon ist:

(Simpel, nicht?)

Jetzt y''' einsetzen:



Und jetzt mußt du nur noch eine Matrix A bestimmen, so daß Y' = A * Y ist.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, da hab ich wohl etwas in die falsche richtung gedacht....

war das denn richtig?
und kann ich diese werte dann in Y'einsetzen?
dann wäre ?

und ich könnte es wie folgt schreiben

und gleich noch ne frage zum ausrechnen der matrix. hatt diese denn die form einer einheitsmatrix mit z.b lamda 1,2 und 3 und ich schreibe es dann als gleichungssystem und löse nach den jeweiligen lamda auf?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also hab das dann nun mal so gemacht und bekomme folgendes raus




diese werte setze ich dann in die hamogene gleichung

ein? stimmt das denn so weit und wie fahre ich dann fort?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
war das denn richtig?
und kann ich diese werte dann in Y'einsetzen?
dann wäre ?

Nein, das ist völlig daneben. Mir ist völlig rätselhaft, was du da denkst oder rechnest. verwirrt

Y ist eine vektorielle Funktion, die aus 3 Komponenten besteht. Mit Sicherheit ist Y keine Konstante, und wenn sie es wäre, wäre Y' = (0 0 0).

Nochmal: wir haben folgendes GLS:



Es geht jetzt darum, das Aussehen der Matrix A zu finden. Überlege dir mal, was in der 1. Zeile der Matrix stehen muß, damit die Multiplikation mit dem Vektor zu dem Ergebnis y_1 (= 1. Komponente des Vektors Y') führt.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also mos ich von auf eins kommen.....geht am einfachsten wenn ich mache oder nicht?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann


sorry das es so lange gedauert hat, hab die nächste seite übersehen...

edit(Abakus): \begin statt begin
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ohman also nochmal

oh man...also nachmal

edit(Abakus): = statt \=
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

arrrrrrr
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also A= zeile1
zeile2
zeile3
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ich erläutere mal den nächsten Schritt. In der Matrix A stehen nur Zahlen. Also meinetwegen sowas:



Wenn ich jetzt mal rechne, dann habe ich in der ersten Komponente stehen:

Das soll nun gleich y_1 sein. Was müssen also a_1, a_2 und a_3 sein?

EDIT: wenn es dir recht ist, dann lösche ich die Beiträge mit dem mißglückten Latexcode.

EDIT2: ich mache für heute Feierabend.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

a_1 und a_3 sind null a_2 ist eins ?

also matrix wie folgt




wobei die dritte zeile so ja nicht sein kann wenn nur zahlen dürfen oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
wobei die dritte zeile so ja nicht sein kann wenn nur zahlen dürfen oder?

Richtig. Die Zeilen darüber stimmen aber.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

ok die letzte zeile ist denke ich mal -2 1 2 also



wie muß ich dann weiterverfahren? nach irgendwas auflösen? irgend wo einsetzen?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

was mach ich mit den anfangs bedingungen? setze ich die einfach für y_0 usw. einfach ein? wie komme ich denn in das system erster ordnung? oder ist es das damit schon?
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

niemand mehr hier der mir weiterhelfen kann...schade! traurig
wäre echt verdammt wichtig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
ok die letzte zeile ist denke ich mal -2 1 2 also



OK, das wäre geschafft. Wir erinnern uns nun, daß wir ein DGL-System erster Ordnung haben, das so aussieht:
Y' = A * Y

Für Y wählen wir den Ansatz . w ist dabei ein geeigneter noch zu bestimmender konstanter Vektor.

Wie man leicht sieht, ist .

Setzen wir das in Y' = A * Y ein, dann erhalten wir:


bzw.


Was wir nun also brauchen, sind Eigenwerte und -vektoren der Matrix A.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also den eigenwert der matrix ist doch


das lös ich dann nach auf

moment...

EDIT:
ups vergaß die determinante ist gleich null

EDIT 2:
als die det ist = 2² - 3 -2

das dann durch 2 teilen p/q-formel und man hat die eigenwerte.

aber aufgrund der werte die ich raushabe hab ich schon nen fehler in der determinanten denke ich...

EDIT 3:
ist die determinante denn richtig?

EDIT 4:
hab diese so gebildet : det(A - E) = 0


Mod-Edit: mehrere Beiträge zusammengefaßt (klarsoweit)
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

hab mein fehler glaub gefunden.

es muß heißen:

damit ist durch polynomendivision



ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

damit kann ich die eigenwerte bestimmen. (morgen früh will nun ins bett)
und wie verfahre ich dann weiter?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
OK, das wäre geschafft. Wir erinnern uns nun, daß wir ein DGL-System erster Ordnung haben, das so aussieht:
Y' = A * Y

Für Y wählen wir den Ansatz . w ist dabei ein geeigneter noch zu bestimmender konstanter Vektor.

Wie man leicht sieht, ist .

Setzen wir das in Y' = A * Y ein, dann erhalten wir:


bzw.


Was wir nun also brauchen, sind Eigenwerte und -vektoren der Matrix A.


Deine Eigenwerte sehen richtig aus. Hier ist bereits von klarsoweit beschrieben, wie es weitergeht.

Grüße Abakus smile
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

also habe ich dann drei verschiedene formen der formel

in die ich dann die eigenwerte (bzw. oder die eigenvektoren) für einsetze?

also:





für A wird die matrix eingesetzt.

ist das soweit richtig? wie mach ich das dann mit den anfangsbedingungen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
damit kann ich die eigenwerte bestimmen.

Die Eigenwerte hast du doch jetzt. Die Bestimmung der Eigenvektoren kann man sich prinzipiell schenken, denn wir haben jetzt folgendes:

Es ist

oder mit und :



Sofern w_1 <> 0 ist (ich glaube, aufgrund der besonderen Matrixform ist das der Fall), kann man den Eigenvektor w so wählen, daß w_1 = 1 ist. Damit erhalten wir:
bzw. da wir 3 Eigenwerte haben
Das sind dann logischerweise Lösungen der homogenen DGL.

Anmerkung: hier haben wir eine Schwäche in der Notation, denn y_1 etc. waren weiter oben anders definiert worden. Vielleicht hätte man sich das oben schenken sollen.
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

welchen schritt meinst du mit sich schenken sollen? diesen hier?


ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

dann lauten die homogenen DGLs





dies gleichungen leite ich dann jeweils zweimal ab und setze die anfangswerte ein? fertig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
welchen schritt meinst du mit sich schenken sollen? diesen hier?



Nein. Ich meine die Bestimmung der Eigenvektoren w.

Zitat:
Original von ice-mone
dann lauten die homogenen DGLs

Das sind keine homogenen DGLs, sondern die Lösungen der homogenen DGL. Wobei die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist dann eine Linearkombination davon, also:



Die Werte für c_1, c_2 und c_3 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.

EDIT: im übrigen kann man keine Gleichungen ableiten, sondern nur Funktionen. Augenzwinkern
ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

dann setze ich die lösungen in die allgemeine homogene dgl ein?

ice-mone Auf diesen Beitrag antworten »

mit den anfangs bed wird die lösung dann für gezeigt,

und die werte für z.b. wäre dann 0?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ice-mone
dann setze ich die lösungen in die allgemeine homogene dgl ein?


Mir ist rätselhaft, um welche Ecken du denkst. Du mußt keine Lösungen in die allgemeine homogene DGL einsetzen. ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL. Und damit ist das Thema "Lösung der DGL finden" abgehakt.

Jetzt mußt du noch schauen, daß die Anfangsbedingungen (also y(0) = 0 etc.) erfüllt werden. Und ob dabei c_1 = 0 ist, ist noch nicht gesagt.
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