ein paar beweise...

10.04.2005, 12:50

Millhouse

ein paar beweise...

hallo, sitze hier auf 2 beweisen, zu denen ich nicht wirklich viel sagen kann:

1. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Was haben sie damit bewiesen?

also ich gehe mal davon aus, dass es irgendwas mit dem skalarprodukt zu tun hat, aber wirklich sicher bin ich mir nicht, kann die rechnung auch nicht wirklich nachvollziehen... warum ist das so?

2. Beweisen sie:
a) Für linear abhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

hm.... "is halt so" würde ich jetzt sagen...

b) Das Vektorprodukt ist "antikommutativ", d.h. es gilt für alle $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray*}$ des Raums:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \end{eqnarray*}$

keine ahnung wie das gehen soll, zumal ich auch garnicht wusste, dass es so ist und jetzt auch nicht weiß, warum es so ist....

das ist doch echt zum... Klo

10.04.2005, 13:31

iammrvip

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Hallo

Was ist denn schon bekannt, was kannst du vorrausetzen??

Ist z.B. bekannt, dass

$\begin{eqnarray*} (\underline a \times \underline b) \cdot \underline c = \left| \begin{matrix} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{matrix} \right| \end{eqnarray*}$

/edit: Sorry, du kennst bestimmt nur die Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = \left| \begin{matrix} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{matrix} \right| \end{eqnarray*}$

Was heißt denn linear abhängig??

edit2: edit hervorgehoben

10.04.2005, 13:35

JochenX

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warum so schwer?
du weißt, dass das vektorprodukt nur zwischen 3-dimensionalen vektoren definiert ist.
also setze einfach für a=(a1|a2|a3) und für b=(b1|b2|b3) und danach einfach mal die vektor- und skalarprodukte ausrechnen.

nicht so faul, selber schaffen! mehr als schreibarbeit ist das nicht.

10.04.2005, 14:04

Millhouse

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Zitat:

Original von LOED
du weißt, dass das vektorprodukt nur zwischen 3-dimensionalen vektoren definiert ist.

nein weiß ich nicht, ich versuche grade krampfhaft mich in die welt von vektoren reinzudenken, aber ich verstehe nun mal viele sachen nicht, z.B. was man womit ausrechnet und vor allem warum es so ist. ich weiß, dass es eigentlich ziemlich simpel sein müsste, aber ich kanns nun mal nicht.

@ iammrvip
hm... linear abhängig heißt, dass man einen vektor mit zwei anderen ausdrücken kann. wenn das geht, sind die vektoren linear abhängig. das ist alles, was ich darüber weiß. und bei der schreibweise - was drückt sie aus? ich meine... sind das betragstriche? und was für ein rechenzeichen steht zwischen den buchstaben? ist das alles multiplikation?
sorry, ich weiß, die fragen müssen echt dämlich rüberkommen...
aber wie gehts denn nun weiter? muss ich jetzt ein gleichungssystem aufstellen? also von wegen
a * b * c = 0?

10.04.2005, 14:07

Mathespezialschüler

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Verschoben

10.04.2005, 14:12

JochenX

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dann noch mal zu meinem post, mit dem eigentlich alles machbar ist...

du solltest schon wissen, wie man das vektorprodukt ausrechnet.... selbiges mit dem standardskalarprodukt.
die formel die du für das vek.prod. kennen solltest, ist für vektoren mit 3 komponenten definiert, und für mehr gibts das auch nicht.

also einfach einsetzen....

sind a,b linear abhängig (und oBdA a nicht der nullvektor), so kannst du b als vielfaches von a schreiben, also b=c*a, wobei c ein skalar ist, kein vektor...
komponentenweise also: b=(ca1|ca2|ca3) udn dann wieder in die formel einsetzen....

10.04.2005, 14:19

iammrvip

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Zitat:

Original von Millhouse
@ iammrvip
hm... linear abhängig heißt, dass man einen vektor mit zwei anderen ausdrücken kann.

Richtig also musst du $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ als ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ schreiben können. Es muss also

$\begin{eqnarray*} \vec a = \lambda \vec b \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

gelten. $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist einfach irgendeine Zahl (z.B. 2, 8, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ), mit der man die Vektor nun s-multipliziert, also ein Vielfaches bildet.

zu a)

Wie LOED schon gesagt ist das Kreuprodukt oder Vektorprodukt (man finde gern noch weitere Namen Big Laugh

) nur für 3-dimensionale Vektoren definiert. ES müssen also $\begin{eqnarray*} \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Jetzt bildest du einfach stur hintereinander:

das Kreuprodukt $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ , danach
das Skalarprodukt von Ergebnis $\begin{eqnarray*} \cdot \vec a \end{eqnarray*}$

dabe muss 0 rauskommen Freude

. Das gleiche machst du analog für die andere Aufgabe.

10.04.2005, 14:34

JochenX

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Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von Millhouse
@ iammrvip
hm... linear abhängig heißt, dass man einen vektor mit zwei anderen ausdrücken kann.

Richtig

ne, so direkt eigentlich falsch, bei 2 vektoren ist es immer schwer einen mit 2 anderen auszudrücken (?), es gibt ja gar nicht 2 andere.....
oder nur die menge {0} ist auch linear abhängig......

deswegen ja auch oBdA einer der beiden vektoren nicht der nullvektor.....
wenn a=b=0, dann wäre es wiederum trivial.....

10.04.2005, 14:41

iammrvip

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Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von Millhouse
@ iammrvip
hm... linear abhängig heißt, dass man einen vektor mit zwei anderen ausdrücken kann.

Richtig also musst du $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ als ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ schreiben können.

Okay, das stimmt, da habe ich bei Milhouse das Richtige stellen wissen wollen. Hammer

Es ist vom Ausdruck her falsch. Aber du hast auch den Rest der Zeile unterschlagen Augenzwinkern

. So hatte ich es verstehen wollen.

10.04.2005, 17:08

Millhouse

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also danke erst mal für die antworten...
schlagt mich, aber ich verstehe echt nur bahnhof.... Forum Kloppe

und... kann mir jemand den unterschied zwischen
Kreuzprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt
erklären??

also skalarprodukt ist die wurzel aus den quadraten von x, y und z. vektorprodukt müsste dann x1*x2+y1*y2+z1+z2 sein. oder?
aber was ist ein kreuzprodukt bzw. wie wird es gebildet?

10.04.2005, 17:17

iammrvip

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Was hattet ihr denn bis jetzt in Mathe verwirrt

das ihr eine solche Aufgabe bekommt verwirrt

.

Das Skalarprodukt zweier Vektor kann bestimmt werden über:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{b} := \sum_{i=1}^n a_ib_i = {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+\dots + {a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$

d.h. im 3D Raum

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + c_1c_2 \end{eqnarray*}$

Das Kreuzprodukt berechnen man über:

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du solltest vielleicht auch nochmal hier und hier lesen.

10.04.2005, 18:06

Millhouse

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Zitat:

Original von iammrvip
Was hattet ihr denn bis jetzt in Mathe verwirrt

das ihr eine solche Aufgabe bekommt verwirrt

also wir haben da schon ziemlich viel gemacht, nur bin ich da irgendwann auf der strecke geblieben... haben auch schon eine klausur drüber geschrieben (über vektoren), und wie man sieht ist bei mir da nicht viel draus geworden. ich weiß nicht warum, mir fehlt da einfach der überblick und vor allem die gründe, warum es so ist. ich kanns einfach nicht nachvollziehen, ich meine... kreuzprodukt haben wir definitiv noch nicht gemacht und ich verstehe auch nicht, warum man plötzlich über kreuz multipliziert... ich finde das alles so unglaublich kompliziert, keine ahnung warum. ich weiß nicht, was man womit wie multiplizieren muss und keine ahnung.... ich heul jetzt ne runde und dann versuch ichs nochmal nachzuvollziehen.... traurig

10.04.2005, 18:41

iammrvip

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Also ein Vektor ist ja im Grunde ein Pfeil mit einer bestimmten Länge. Es könnte ja irgendwo im Raum liegen.

Es sollen aber alle Vektoren in unserem Koordinatensystem vom Koordinatenurspung ausgehen. Wir nennen sie dann Ortsvektoren.

Der Begriff lineare Abhängkeit ist einfach nur eine Bezeichnung, die sagt, dass man einen Vektor durch einen anderen darstellen kann.

Das ganze gerechne was du machst hat alles immer eine geometrische Bedeutung.

Man unterscheidet Skalarmultiplikation und Kreuzprodukt. Beides sind "Multiplikationen". Da aber ein Unterschied in Bedeutung und Berechnung besteht, schreibt man für das

Skalarprodukt ein normales $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ und für das
Kreuzprodukt ein anderes Malzeichen $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ .

So erkennt man sofort was gemeint ist.

Wenn du nun zwei Vektoren a und b gegeben hast und diese in einer Ebene liegen, dann ist das Kreuzprodukt immer der Vektor der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

http://www.haw-hamburg.de/~schramm/lehre/physik/phys_1/maple/html/images/math_hilf46.gif

Dieser ist wie im Link definiert. Hier ist noch ein schönes Applet

Gleichzeitig ist die Länge des Vektors der dabei entsteht gleich der Fläche die das Parallelgram das die beiden aufspannen besitzt.

Das lässt sich nun über verschiedene Weisen berechnen. Das zu beweisen würde jetzt aber etwas viel zu schreiben sein.

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} e_1 & a_1 & b_1 \\ e_2 & a_2 & b_2 \\ e_3 & a_3 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.04.2005, 19:42

JochenX

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einige hinweise und korrekturen;
wenn jemand mehr dazu hören möchte, ich reiße das nur kurz an, aber er/sie kann sich gerne melden, dann werde ich (oder jemand anderes) mehr dazu sagen:

Zitat:

Also ein Vektor ist ja im Grunde ein Pfeil mit einer bestimmten Länge.

für anfänger geeignete "definition", wer sich etwas mehr mit dem sachverhalt vektorraum beschäftigt hat, weiß, dass das an sich unfug ist.
aber hier ist die erklärung sicher noch angebracht....

Zitat:

Der Begriff lineare Abhängkeit ist einfach nur eine Bezeichnung, die sagt, dass man einen Vektor durch einen anderen darstellen kann.

{0}

, diese vektormenge ist linear abhängig, aber einen vektor durch einen anderen darstellen? oder: durch "einen" darstellen??
eigentlich sollte man hier etwas von der linearkombination des nullvektors erzählen

Zitat:

Man unterscheidet Skalarmultiplikation und Kreuzprodukt.

man unterscheidet zudem skalare multiplikation und skalarprodukt.
skalare multiplikation ist die multiplikation eines skalars mit einem vektor.
bei der geometrischen vorstellung von pfeilen wäre dies eine streckung/stauchung des pfeils (evtl auch änderung der richtung)

Zitat:

Wenn du nun zwei Vektoren a und b gegeben hast und diese in einer Ebene liegen, dann ist das Kreuzprodukt immer der Vektor der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

geometrisch gesehen liegen 2 vektoren des IR³ immer in einer ebene.
und das vektorprodukt liefert nur einen vektor, der senkrecht zu ihnen steht, nicht "den" vektor...

Zitat:

Gleichzeitig ist die Länge des Vektors der dabei entsteht gleich der Fläche die das Parallelgram das die beiden aufspannen besitzt.

na über einheiten will ich hier mal nicht streiten Augenzwinkern

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ein paar beweise...

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