Frage zu Schreibweise in Funktionalanalysis

10.10.2007, 10:16

mylittlehelper

Frage zu Schreibweise in Funktionalanalysis

Ich mal wieder Wink

.

Kurze Vorbemerkung bevors zu Sache gehen kann:

$\begin{eqnarray*} C^l(\Omega) \end{eqnarray*}$ ist die Gesamtheit der komplexwertigen Funktionen, die in dem Gebiet $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ stetig sind und stetige Ableitungen bis (einschließlich) zur Ordnung $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ besitzen. Setzen weiter $\begin{eqnarray*} C(\Omega):=C^0(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ Banachräume. Dann bezeichne $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}(B_1,B_2) \end{eqnarray*}$ die Gesamtheit aller linearen, stetigen Operatoren von $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Banachraum und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die komplexe Ebene. Dann heißt $\begin{eqnarray*} B'=\mathcal{L}(B,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ der duale Raum zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir folgenden Satz notiert (Beweis entfiel wg Zeitmangels - es wurde auf Triebel - Höhere Analysis verwiesen).

Es sei $\begin{eqnarray*} 1<p<\infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1 \end{eqnarray*}$ . Jedes lineare Funktional aus $\begin{eqnarray*} l_p \end{eqnarray*}$ lässt sich in der Form $\begin{eqnarray*} f(\xi)=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\eta_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi=(\xi_1,\xi_2,\dotsc)\in l_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta=(\eta_1,\eta_2,\dotsc)\in l_{p'} \end{eqnarray*}$ darstellen. Dabei ist $\begin{eqnarray*} ||f||=||\eta||_{l_{p'}} \end{eqnarray*}$

Nun folgt die mir unklare Bemerkung (BV wurde nirgens definiert):

$\begin{eqnarray*} (C[a,b])'=BV[a,b] \end{eqnarray*}$

Ich vermute folgendes: Der duale Raum zu den stetigen Funktionen auf [a,b] ist der Raum der Funktionen beschränkter Variation auf [a,b].

Wenn dies korrekt sein sollte, so bitte ich um eine kurze Erklärung.

Vielen Dank!

10.10.2007, 13:40

Dual Space

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RE: Frage zu Schreibweise in Funktionalanalysis

Zitat:

Original von mylittlehelper
Ich vermute folgendes: Der duale Raum zu den stetigen Funktionen auf [a,b] ist der Raum der Funktionen beschränkter Variation auf [a,b].

Fast. Wenn ich mich recht erinnere gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\{f\in C[a,b]:f(a)=0\}\right)'\cong BV[a,b] \end{eqnarray*}$

Der Beweis ist keinesfalls trivial.

11.10.2007, 01:27

WebFritzi

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RE: Frage zu Schreibweise in Funktionalanalysis

Zitat:

Original von mylittlehelper
Ich vermute folgendes: Der duale Raum zu den stetigen Funktionen auf [a,b] ist der Raum der Funktionen beschränkter Variation auf [a,b].

Dies ist richtig. Die Räume sind zwar nicht wirklich gleich (Funktionale sind nunmal keine Funktionen auf [a,b]), aber sie sind bei geeigneter Identifikation der Elemente topologisch gleich (ganz korrekt: topologisch isomorph). Diese Aussage ist auch unter "Rieszscher Darstellungssatz" bekannt. Einen Beweis habe ich im Anhang angehängt.

11.10.2007, 06:06

mylittlehelper

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Supi. Vielen Dank für die Mühe. Freude

Den Darstellungssatz von Riesz kannte ich, aber nicht in dieser "klaren" Formulierung, so dass mir der Zusammenhang nicht klar geworden ist.

11.10.2007, 07:16

Dual Space

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WebFritzi: In welchem Buch findet man diese Version des Satzes? Hatte schnell im Werner geschaut, aber da ist dieses Resultat nur in einer Übungsaufgabe verklausuliert.

11.10.2007, 10:44

WebFritzi

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@Dual: Einen ähnlichen Beweis kann man in

Riesz/Nagy, Vorlesungen über Funktionalanalysis

finden.Tolles Buch, übrigens. Augenzwinkern

12.10.2007, 07:59

Dual Space

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Hab mir das Buch mal angeschaut - wirklich empfehlenswert. Sehr elegant geschrieben.

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