Vektoren

10.10.2007, 12:48

Kathi1984

Vektoren

Hallo,
es ist eine folgende aufgabe:
die vektoren a, b und v liegen in einer ebene. bestimmen sie in der zerlegung (vektor v)=p (vektor a) + q (vektor b) die größen p und q durch geeignete vektorprodukte.

ich habe so gemacht:
zeichnung auch gemacht

v= p a +q b = (p)
(q)

vektor a = 1 a + 0 b
vektor b= 0 a + 1 b

habe ich richtig angefangen??? oder wie soll ich es machen? bitte hilf mir

10.10.2007, 14:32

mYthos

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Das bringt so nichts.
Du musst die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = p \cdot \vec{a} + q \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

zeilenweise (in den Komponenten) anschreiben und das entstehende lin. Gl.System nach p, q lösen.

Ich nehme an, es sind bei der Aufgabe noch zahlenmäßige Angaben dabei.

mY+

P.S.: Bitte keine Hilferufe im Titel! Dass du Hilfe brauchst, ist klar, sonst hättest du hier nicht geschrieben.

10.10.2007, 14:33

klarsoweit

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RE: Vektoren
Also so ganz ist mir die Aufgabe noch nicht klar. Wir haben die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \vec v = p \cdot \vec a + q \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

Gibt es nun irgendwelche Angaben über Eigenschaften des Vektors v ?

10.10.2007, 14:37

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ liegt in derselben Ebene wie $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und zahlenmäßige Angaben werden wohl vorliegen. Wenn nicht, muss man das lin.Gl.System allgemein lösen.

mY+

10.10.2007, 16:38

Kathi1984

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hallo,
es sind keine zahlenangaben da. nur das vektoren a, b und v in einer ebene liegen. und wir sollen p und q herrausfinden. aber versuchte grad eben mit gleichungssystemen, aber komme nicht recht weiter. versuche schon seit stunden die aufgabe zu lösen.

10.10.2007, 16:56

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Wenn du es unbedingt mit Vektor- oder vielleicht doch besser Skalarprodukten ausdrücken sollst, dann multipliziere deine Vektordarstellung $\begin{eqnarray*} \vec{v} = p\vec{a} + q\vec{b} \end{eqnarray*}$ einmal mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{a} = p(\vec{a}\cdot \vec{a}) + q(\vec{a}\cdot \vec{b}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{b} = p(\vec{a}\cdot \vec{b}) + q(\vec{b}\cdot \vec{b}) \end{eqnarray*}$

Die Skalarprodukte sind dank bekannter Vektoren alle berechenbar. Damit steht da eine 2x2-LGLS für die beiden Unbekannten $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ . Sind $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b} \end{eqnarray*}$ nicht kolinear, dann besitzt dieses System auch eine eindeutige Lösung.

10.10.2007, 18:01

Kathi1984

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va= pa^2+qab
vb= pab+qb^2

ist dann a^2 und b^2 gleich 0?

ich sehe es kein sinn????? komme immer noch nicht auf das ergebniss von p und q...bin langsam am verzweifeln

10.10.2007, 19:04

Christian1983

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Ich hatte zu der Aufgabe noch folgende Überlegung, komme aber zu keinem Schluss.

Das Vektorprodukt von qaXqb gibt ja den vektor senkrecht auf der Ebene an.
Und wenn ich den Betrag von diesem Ausdruck nehme habe ich ja die Fläche des Parllelogramms mit den Seiten pa und qb und der Diagonalen v.
Ich denke mir, dass ich von der Fläche irgendwie auf die Diagonale eine Beziehung habe, die ich darstellen kann.

Ist der Ansatz richtig?

10.10.2007, 20:04

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Zitat:

Original von Kathi1984
ist dann a^2 und b^2 gleich 0?

Wer sagt denn das?

Zitat:

Original von Kathi1984
ich sehe es kein sinn????? komme immer noch nicht auf das ergebniss von p und q...

Wenn du keine linearen Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst, dann solltest du erstmal das lernen.

10.10.2007, 20:49

Kathi1984

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doch ich kann gleichungsysteme lösen. problem ist nur wie ich es mit vektoren anstellen soll. ohne vektoren kann ich es aber sonst nicht. versuche schon die ganze zeit, weil ich denke immer dass ich etwas beachten muss wie zb. a^2 =0 ist....vielleicht ist meine denkweise falsch *grins* aber werde weiterhin versuchen. hoffe komme irgendwann zur lösung

10.10.2007, 20:52

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Was ich oben angegeben habe, ist ein ganz normales reelles Gleichungssystem, denn die angegebenen Skalarprodukte sind schließlich reelle Zahlen!!!

Ach ja, und es ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = | \vec{a} |^2 \end{eqnarray*}$ . Du scheinst das mit dem Vektorprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{a} = \vec{o} \end{eqnarray*}$ (Nullvektor, nicht Null!) zu verwechseln.

10.10.2007, 21:17

Kathi1984

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also ich habe zb nach q aufgelöst und gleichgesetzt, komischerweise steht bei mir (v-pa)/b = (v-pa)/b

also ist p für mich gleich 0???? oder habe ich was falsches gemacht???

10.10.2007, 21:28

Kathi1984

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also wenn ich (v-pa) / b = (v-pa) /b
ergibt sich gleich 0=0 also heißt es dass unendlich viele lösungen hat.
jetzt frage ich mich wie komme ich auf q und p???
oder habe ich was falsches gemacht?

10.10.2007, 22:24

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Zitat:

Original von Kathi1984
also wenn ich (v-pa) / b = (v-pa) /b
ergibt sich gleich 0=0 also heißt es dass unendlich viele lösungen hat.
jetzt frage ich mich wie komme ich auf q und p???
oder habe ich was falsches gemacht?

Einfach alles hast du falsch gemacht: Wie dividierst du durch den Vektor b ???

---------------------

Ein allerletzter Versuch, jetzt auf dem Silbertablett:

Gegeben sind $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{v} \end{eqnarray*}$ in der Ebene. Damit kann man die reellen Zahlen (!!!)

$\begin{eqnarray*} c_{11} = \vec{a}\cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{12} = c_{21} = \vec{a}\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{22} = \vec{b}\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1 = \vec{a}\cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_2 = \vec{b}\cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

berechnen. Und damit hat das oben von mir bereits angegebene und von dir ignorierte Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{a} = p(\vec{a}\cdot \vec{a}) + q(\vec{a}\cdot \vec{b}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{b} = p(\vec{a}\cdot \vec{b}) + q(\vec{b}\cdot \vec{b}) \end{eqnarray*}$

die anders geschriebene Gestalt

$\begin{eqnarray*} c_{11} p + c_{12} q = d_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{21} p + c_{22} q = d_2 \end{eqnarray*}$ ,

mit den Variablen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ . Wenn das jetzt nicht genügt, dann weiß ich auch nicht weiter. unglücklich

10.10.2007, 23:26

Christian1983

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Ja aber was ist mit den Hinweis der in der Aufgabe drin stand, dass p und q mit den Vektorprodukt errechnet werden können. Gibt es dazu denn keine Lösung bzw. einen Ansatz?

11.10.2007, 09:43

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@Christian

Wenn man das Vektorprodukt anwenden will, muss man zunächst bei zweidimensionalen $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{v} \end{eqnarray*}$ diese um eine dritte z-Komponente (dann sämtlich Null) erweitern - dann ist auch was möglich:

Aus $\begin{eqnarray*} \vec{v} = p\vec{a} + q\vec{b} \end{eqnarray*}$ folgt durch Vektorprodukt mit $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{b} = p(\vec{a} \times \vec{b}) + q(\vec{b} \times \vec{b}) = p(\vec{a} \times \vec{b}) \end{eqnarray*}$

In den beiden Vektorprodukten links und rechts sind bei der Datenlage hier die x- und y-Komponenten jeweils Null, die z-Komponente kann aber zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ herangezogen werden:

$\begin{eqnarray*} p = \frac{[\vec{v} \times \vec{b}]_z}{[\vec{a} \times \vec{b}]_z} \end{eqnarray*}$ , analog $\begin{eqnarray*} q = -\frac{[\vec{v} \times \vec{a}]_z}{[\vec{a} \times \vec{b}]_z} \end{eqnarray*}$ .

Sollten $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{v} \end{eqnarray*}$ bereits in irgendeiner Ebene des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , also nicht notwendig der (x,y)-Ebene, liegen, dann zieht man irgendeine Nichtnull-Komponente von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ bei der Division heran, das muss dann nicht notwendig die z-Komponente sein...

Der zunächst elegant erscheinende Weg über den Betrag hat seine Tücken - er liefert nämlich auch nur den Betrag von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |p| = \frac{\| \vec{v} \times \vec{b} \|}{\| \vec{a} \times \vec{b} \|} \end{eqnarray*}$ ,

d.h., um das Vorzeichen müsste man sich noch anschließend kümmern.

Ein Nachteil hat der Weg über das Vektorprodukt: Er ist auf Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{v} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ beschränkt, während der obige Weg über das Skalarprodukt in beliebigen Ebenen vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ klappt.

11.10.2007, 10:53

Kathi1984

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Arthur, das habe ich auch so gemacht. schau mal:

va=pa^2 + qab
vb=pab+qb^2

nach q auflösen

va=pa^2+qab /-pa^2
va-pa^2=qab / (1/ab)
q= (va-pa^2)/ab kürzen
q= (v-pa)/b

vb=pab+qb^2 /pab
vb-pab=qb^2 /(1/b^2)
q=(v-pa)/b

gleichsetzen (v-pa)/b = (v-pa)/b

also unendlich viele lösungen....stimmt so arthur? oder habe ich mich verrechnet?

11.10.2007, 11:40

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Kathi1984
q= (va-pa^2)/ab kürzen

Ich führe diesen Schritt mal für dreidimensionale Vektoren aus:

$\begin{eqnarray*} \vec v := (v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec a := (a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b := (b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray*}$ jeweils aufgefasst als Spaltenvektoren.

Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \vec v \circ \vec a = v_1a_1+v_2a_2+v_3a_3 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} p\cdot (\vec a\circ\vec a) = pa_1^2+pa_2^2+pa_3^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \vec v\circ\vec a - p\vec a\circ\vec a = (v_1-pa_1)a_1+(v_2-pa_2)a_2+(v_3-pa_3)a_3 \end{eqnarray*}$

Nun zum Nenner:

$\begin{eqnarray*} \vec a\circ \vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray*}$

Und jetz versuch einmal den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ in diesen Summen wiederzufinden um ihn anschließend - wie von dir angebene zu kürzen. Denn was allgemein gilt, gilt auch im speziellen (dreidimensionalen) Fall.

Warum geht es denn nun nicht?

Das Skalarprodukt ist eine Bilinearform, d.h. es sind nur Addition und skalare Multiplikation erklärt. Damit funktionieren Subtraktion und auch Division durch Zahlen wunderbar. Aber eben keine Division durch Vektoren.

Vorschlag:

Löse das Gleichungssystem von Arthur in der folgenden Form:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} c_{11} p + c_{12} q = d_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{21} p + c_{22} q = d_2 \end{eqnarray*}$ ,

und ersetze dann in deiner Lösung die c's und d's durch die entsprechenden Skalarprodukte.

EDIT: Einige Ergänzungen und einen Flüchtigkeitsfehler behoben.

11.10.2007, 13:54

Kathi1984

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also habe es wieder versucht, habe es so gemacht. nur leider komme ich auf das gleiche ergebniss, bin total verzweifelt...weiß nur nicht wie ich weiter machen soll...

c11p+c12q=d1
c21p+c22q=d2

nach q

c11p+c12q=d1
c12q=d1-c11p
q= (d1-c11p)/c12 also q= (av-a^2p)/ab

c21p+c22q=d2
c22q=d2-c21p
q=(d2-c21p)/c22 also q=(bv-abp)/b^2

so kommt dasselbe raus wie ich gerechnet habe und wenn ich gleichsetze ist auch gleich 0. wo mache ich nun den fehler? ich komme echt nicht weiter.... traurig

11.10.2007, 15:05

mylittlehelper

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Nene, kein Grund zum traurig sein. Aber auch hier wieder elementare Verstehensprobleme.

Ein Tipp von mir: Verwende am besten das Gauß-Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Vorteil: Du rechnest in den ganzen Zahlen (d.h. du kommst ohne Division aus; jedenfalls bis zur direkten Berechnung der Ergebnisse) und das Verfahren skalliert besser. wenn es um viele Gleichungen geht, als die anderen Verfahren.

Aber du hast mit Gleichsetzungsverfahren angefangen, also werd ich dir den Gefallen tun, die Vereinfachung vorzurechnen (hoffe mir reißt keiner den Kopf runter):

Du bist bis zu der Stelle gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{d_1-c_{11}p}{c_{12}}=\frac{d_2-c_{12}p}{c_{22}} \end{eqnarray*}$

Nun einfach über Kreuz multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} c_{22}(d_1-c_{11}p) = c_{12}(d_2-c_{12}p) \end{eqnarray*}$

Nun multiplizierst du aus und sortierst die Terme mit p nach rechts und die ohne p nach links (vom "="). Und anschließend p ausklammern liefert:

$\begin{eqnarray*} c_{22}d_1-c_{12}d_2 = (c_{11}c_{22}-c_{12}^2)p \end{eqnarray*}$

Division durch den geklammerten Term auf der rechten Seite liefert dann eine explizite Darstellung für p.

Überlege dir nun, warum die Division zulässig ist oder in welche Fälle du ggf. ausschließen musst. Und setze p in eine deiner Gleichungen für q ein. Die Vereinfachung ist dann etwas mühselig, aber wenn du die Brüche zunächst teilst und fein Hauptnenner bildest, dann kürzt sich ne Menge weg und q sieht dann fast genauso aus wie p.

Also nix mit Null.

11.10.2007, 16:10

DerHochpunkt

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Ich verstehe das richtig: Es geht hier nur um eine allgemeine Lösung für q und p? Für Vektoren a und b sind keine Werte gegeben??

11.10.2007, 16:30

Christian1983

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Ja die Werte p,q sind gesucht und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ sind gegeben. Das System soll allgemein gelöst werden es sind also keine Zahlenwerte gegeben.

@Atrhur Dent Du erweiterst also die Gleichung mit den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ .
Ich verstehe aber leider noch nicht den Sinn davon und auch nicht warum dann
$\begin{eqnarray*} ( \vec{v} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \vec{b} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} p* (\vec{a} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \vec{b}) \end{eqnarray*}$

11.10.2007, 17:54

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Zitat:

Original von Christian1983
@Atrhur Dent Du erweiterst also die Gleichung mit den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ .

"Erweitern" ist ein furchtbarer Ausdruck dafür: Ich habe das Skalarprodukt bzw. an anderer Stelle das Vektorprodukt gebildet!!!

11.10.2007, 18:01

Kathi1984

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also habe versucht zu machen, hoffe bin zum richtigen ergebnis gekommen:

p= (c22d1-c12d2)/(c11c22-c12^2)

q= (d1c12^2 +c11c12d2)/(c12c11c22-c12c12^2)

stimmt es jetzt? *hofft so sehr* oder muss ich weiterversuchen???

11.10.2007, 18:21

mylittlehelper

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Mmh, also der Term für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ scheint mir noch fehlerhaft zu sein. Schreib dir das Einsetzen von deiner Lösung für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} q=\frac{d_1-c_{11}p}{c_{12}} \end{eqnarray*}$ noch mal sauber auf.

Was dir auffallen sollte ist, dass ein längerer Summand wegfällt (+/-).
Beachte weiter: $\begin{eqnarray*} c_{12} \end{eqnarray*}$ ist jetzt tatsächlich eine reelle Zahl, also darfst du bei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ noch in Zähler und Nenner ausklammern, anschließend kürzen und erhälst so einen einfacheren Ausdruck.

11.10.2007, 19:03

Kathi1984

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grumellllllllllll

also habe rausbekommen q= c12^2(c11d2-d1) / (c11c22-c12^2)

nur leider konnte ich es nicht kürzen, mennoooo willl endlich zum ergebnis kommen :-)rechne dies schon zum 5ten mal. ich weiß ehrlich nicht wo ich ein fehler machte...*grumel* mensch das muss doch nicht so schwer sein, oder habe ich wieder komplett falsch??

11.10.2007, 19:19

mylittlehelper

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Mit
$\begin{eqnarray*} p=\frac{c_{22}d_1-c_{12}d_2}{c_{11}c_{22}-c_{12}^2} \end{eqnarray*}$

folgt nun

$\begin{eqnarray*} q=\frac{d_1-c_{11}\cdot\left(\frac{c_{22}d_1-c_{12}d_2}{c_{11}c_{22}-c_{12}^2} \right)}{c_{12}} \end{eqnarray*}$

Auf den Hauptnenner gebracht haben wir dann:

$\begin{eqnarray*} q=\frac{d_1c_{11}c_{22}-d_1c_{12}^2-c_{11}c_{22}d_1+c_{11}c_{12}d_2}{c_{12}(c_{11}c_{22}-c_{12}^2)} \end{eqnarray*}$

Den Rest solltest du nun wirklich allein schaffen...Vergiss das Auflösen der c's dann nicht und schon hast du deine Lösung.

Ich weiß, dass Ratschläge auch Schläge sind. Dennoch würde ich dir empfehlen, dir ein Übungsbuch (wie z.B. dieses hier) zu Termumformungen und Gleichungssystemen zu besorgen, damit du den Anschluss nicht durch solch elementare Verständnisprobleme verpasst.

11.10.2007, 19:54

Kathi1984

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achja, ich habe nur einen kleinen fehler gemacht *grins* vielen dank euch leute, ihr habt mir wirklich geholfen.....werde ganz bestimmt noch mall für mich wiederholen um klar zu kommen. den ich hatte schon enige zeit kein mathe gehabt.....vielen dank

11.10.2007, 20:45

Kathi1984

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looool wie ich von anfang an vermutet habe, dass es sich doch q=0 und p=0 ergibt. wenn ich die buchstaben als vektoren einsetze...dann sehe ich es dass sich 0 ergibt...den sowohl in nenner und zähler ein subtraktion besteht....hoffe es ist richtig....

11.10.2007, 22:50

mylittlehelper

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Nö, das stimmt leider nicht, aber ich glaube ich habe einen wichtigen Verständnisfehler bei dir entdeckt: Du musst eindeutig zwischen $\begin{eqnarray*} \vec a \circ \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

Wenn dein Ergebnis wirklich stimmen würde, dann wären alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ gleich dem Nullvektor. Rechne deine Formeln bzw. deine Vereinfachungen einfach mal für ein dreidimensionales Beispiel durch. Gib dir eine Ebene vor, wähle dir 4 beliebige Punkte von denen jeweils drei nicht-kolinear sind und erzeuge daraus 3 Vektoren.

Also hier 2-dim Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec a = (a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b = (b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec v = (v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \vec b\circ\vec b \cdot \vec a\circ\vec v-\vec a\circ\vec b \cdot \vec b\circ\vec v=(b_1^2+b_2^2)(a_1v_1+a_2v_2)-(a_1b_1+a_2b_2)(b_1v_1+b_2v_2) \end{eqnarray*}$

Beim Ausmultiplizieren fällt auf, dass im Subtrahend beispielsweise ein Produkt $\begin{eqnarray*} a_1b_1b_2v_2 \end{eqnarray*}$ auftritt, welches im Minuenden nicht vorkommen kann. Damit ist also bereits im zweidimensionalen Fall $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ungleich Null.

12.10.2007, 00:14

WebFritzi

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RE: Vektoren

Zitat:

Original von Kathi1984
die vektoren a, b und v liegen in einer ebene.

Drei Punkte im IR³ liegen immer in einer Ebene...

12.10.2007, 10:07

Kathi1984

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RE: Vektoren
ohje, versuche weiter....ich denke die ganze zeit dass es normales algebra ist...vektoren hatte ich kaum bzw kaum verstanden...obwohl ich immer mich oft hingesetzt habe um sich einstudieren zu können....

also habe es so wie du gemacht, aber komme leider nicht zu einen ergebnis, vielleicht habe ich was falsches gemacht....

also
p= (a1v1b2^2+a2v2b1^2-a2b2b1v1+a1b1b2v2 ) / (a1^2b1^2+a2^2b1^2+a1^2b2^2+a2^2b2^2-a1b1-a2b2)

ich würde weiter faktoriesieren und kürzen und so komme ich zum ergebnis oder?

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Vektoren

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