Leere Menge und Aussagenlogik

10.10.2007, 14:31

Zeno-2

Leere Menge und Aussagenlogik

Hallo!

In einem Buch von Meschkowski habe ich einen seltsamen Beweis gelesen, warum die Leere Menge $\begin{eqnarray*} $\emptyset$ \end{eqnarray*}$ Teilmenge einer jeden Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist.

Der Beweis geht etwa so: Zuerst wird etwas über Aussagenverknüpfung gesagt, diese Wahrheitstabelle wird angegeben.

Dann wird definiert, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a \in P \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a \in Q \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} P \subset Q \end{eqnarray*}$ .

Soweit so gut.

Jetzt wird folgendes gesagt: Aus $\begin{eqnarray*} a \in \emptyset \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ . Diese Aussage ist nach der Wahrheitstabelle immer richtig, weil die Prämisse, $\begin{eqnarray*} a \in \emptyset \end{eqnarray*}$ , schon falsch ist. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} $\emptyset$ \end{eqnarray*}$ Teilmenge von G.

Das ist ja Quatsch, weil ich genauso schließen kann, $\begin{eqnarray*} $\emptyset$ \end{eqnarray*}$ ist nicht Teilmenge von G, denn die Prämisse ist ja schon falsch.

Also, vermutlich habe ich es falsch verstanden. Interessieren würde mich:
Wie beweist man, daß die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist?
Und: Kann man irgendetwas schließen, wenn schon die Prämisse falsch ist?

(Im Hinterkopf: "aus Falschem folgt Beliebiges" und der "Satz vom ausgeschlossenen Dritten")

verwirrt

10.10.2007, 14:58

Mazze

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Zitat:

Kann man irgendetwas schließen, wenn schon die Prämisse falsch ist?

Wenn die Prämisse falsch ist kannst Du alles Folgern, zum Beispiel sind alle Zahlen Primzahlen weil jede Funktion differenzierbar ist. Nur bringt dies keine neuen Aussagen, da man gerade daran interessiert ist zu Untersuchen wenn etwas wahr ist was dann daraus folgt. Entscheidend wird also das Ganze wenn die Prämisse wahr ist. Der Teufel steckt im Detail ich würde den Beweis so führen :

$\begin{eqnarray*} \emptyset \cup A = A \Rightarrow \emptyset \subset A \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B \end{eqnarray*}$

Die leere Menge lässt sich auch alternativ deklarieren :

$\begin{eqnarray*} M \subseteq \Omega = \emptyset \Leftrightarrow \forall x \in \Omega.x \not \in M \end{eqnarray*}$

damit liesse sich sofort

$\begin{eqnarray*} \emptyset \cup A = A \end{eqnarray*}$

beweisen.

10.10.2007, 16:30

Zeno-2

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Aber schau mal hier:

Leere Menge

Eine Menge ohne Element ist wegen Extensionalität immer gleich der Leeren Menge

$\begin{eqnarray*} \emptyset = \{ x|x\neq x\}. \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq M \end{eqnarray*}$ für alle Mengen M.

Der Beweis dazu ist eine nette Illustration von Schlussweisen in der Mathematik:

Die zu zeigende Aussage lässt sich als $\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$ schreiben – hier wurde einfach die Definition der Teilmenge verwendet.

Dies ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x\neq x\ \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$ . Ist diese Aussage wahr oder falsch? Nun, $\begin{eqnarray*} x\neq x\ \end{eqnarray*}$ ist immer falsch, d.h. auf der linken Seite der Aussage steht F. Eine Inspektion der Wahrheitstafel von $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ liefert, dass damit unabhängig von vom Wahrheitswert der rechten Seite die Gesamtaussage immer wahr ist. Da alle unsere Aussagen äquivalent sind, ist auch die zu beweisende Ursprungssaussage wahr.

Auf ähnliche Weise können viele Eigenschaften der leeren Menge nachgewiesen werden – offenbar spielt die leere Menge in der Mengenlehre eine ähnlich exotische Rolle wie die Null in der Arithmetik.

verwirrt

10.10.2007, 18:04

Mazze

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Das angegebene Beweis ist völlig korrekt das liegt vor allem an dieser ominösen Menge M die alle Mengen enthällt. Den es ist

$\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \Rightarrow x \in M \Leftrightarrow x\neq x\ \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \Rightarrow x \in M \not \Leftrightarrow x\neq x\ \Rightarrow x \not \in M \end{eqnarray*}$

Das heisst zwar das

$\begin{eqnarray*} x\neq x\ \Rightarrow x \not \in M \end{eqnarray*}$

eine gültige Folgerung ist, da sie aber nicht äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

ist, kann man nicht folgern das die leere Menge nicht Teilmenge einer jeden anderen Menge wäre.

10.10.2007, 18:37

Zeno-2

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Zitat:

Das angegebene Beweis ist völlig korrekt das liegt vor allem an dieser ominösen Menge M die alle Mengen enthällt.

Ich bezweifle, daß es das selbe M ist, wie bei Russels "Mengen aller Mengen", wenn du das meinst. M wird auf der verlinkten Seite ja mehrmals benutzt und jeweils unterschiedlich definiert. Im Kontext der "leeren Menge" steht M wohl für jede beliebige (nichtleere) Menge.

11.10.2007, 12:42

Mazze

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Jede beliebige nichtleere Menge schliesst die Mengen der Mengen mit ein.

Was passiert wenn man behauptet $\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$ ?

Sei im folgenden M eine beliebige Menge, das würde folgendes bedeuten :

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \neg (\forall x.x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists x.\neg (x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists x. \neg (x \not \in \emptyset \vee x \in M) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists x. x \in \emptyset \wedge x \not \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow F \end{eqnarray*}$

Das heisst also die Aussage das die leere Menge nicht in einer jeden Menge M vorkommt ist äquivalent zu F , also falsch.

Übrigens dein Problem das man nicht auch sagen könnte das

$\begin{eqnarray*} \emptyset \subset M \Rightarrow x \neq x \Rightarrow x \not \in M \end{eqnarray*}$

löst sich dahin gehend, das es natürlich garkeine x in der leeren Menge gibt. Und daher kann es uns, bezüglich der Teilmengeneigenschaft, egal sein ob dann x in M liegt oder nicht. Uns ist aber nicht egal ob dieses x was nicht in der leeren Menge ist in M ist, und da wir in der Implikation als Prämisse ein F haben können wir sogar zeigen das dieses x was nicht in der leeren menge ist, in der Menge M ist D.h durch diese Äquivalenz gewinnen wir keine Informationen. Übrigens hatte ich vorhin damit Unrecht das

$\begin{eqnarray*} (i) x \neq x \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) x \neq x \Rightarrow x \not \in M \end{eqnarray*}$

(i) und (ii) nicht äquivalent sind. Es sind beides Tautologien, also beide Äquivalent, die Sache ist das wir durch (ii) wie oben erwähnt keine Informationen dazu gewinnen.

edit:

Der Knackpunkt ist das die Negation von (i) nicht (ii) ist. Und mit der Aussage das Du zeigen willst das die leere Mengen eben nicht Teilmenge einer jeden Menge ist meintest Du die Negation.

edit2:

Mir ist gerade noch ein "umgangssprachliches Argument" eingefallen. Wäre die leere Menge nicht Teilmenge einer jeden Menge M so müsste die leere Menge ein x enthalten was nicht in M vorkommt, und das gibt es nicht. Das ist in Worten meine obige Beweisidee.

11.10.2007, 13:49

Zeno-2

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Wir kommen dem Knackpunkt näher, scheint mir.

Das ist das Problem, wie ich es sehe:
Deine Aussage:

$\begin{eqnarray*} (\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

ist immer richtig, weil schon die Aussage (Prämisse) :

$\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \end{eqnarray*}$

immer falsch ist, (da es gar keine x in der leeren Menge gibt.)

Bei deinem Beweis ist also

$\begin{eqnarray*} \neg(\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

auch immer falsch und aus einer falschen Aussage kannst du alles und nichts schließen. Zumindest die Richtung:

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \Leftarrow \neg(\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

ist immer richtig, genauso wie m. E.

$\begin{eqnarray*} \emptyset \subset M \Leftarrow \neg(\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

Mir kommt es daher so vor, als ob man im Kreis argumentiert, aber es ist absolut möglich, daß ich die (Quantoren-)Logik nicht verstehe.

verwirrt

11.10.2007, 14:00

Zeno-2

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Aber der Beweis durch Widerspruch könnte schon klappen:

Annahme: M beliebig und $\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \Rightarrow \exists x \in \emptyset. x \not \in M \end{eqnarray*}$

Per Definition estistiert aber kein solches $\begin{eqnarray*} x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ . Daher ist die Annahme falsch.

verwirrt

11.10.2007, 14:11

Mazze

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Zitat:

Mir kommt es daher so vor, als ob man im Kreis argumentiert,

Tut man hier aber nicht. Ich bin von der reinen Teilmengendefinition ausgegangen und habe Äquivalenzschritte gemacht.

Diese Folgerung:

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \Leftarrow \neg(\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

bringt dir nichts, weil Du aufgrund einer falschen Annahme alles folgern kannst. Ich habe das Beispiel oben ja schon verdeutlicht, jede Zahl ist eine Primzahl weil jede Funktion differenzierbar ist. Die logische Folgerung die den Sachverhalt beschreibt ist wahr, allerdings ist die Aussage das jede Zahl eine Primzahl ist trotzdem nicht wahr, weil man aufgrund einer wahren Aussage, nämlich 4 ist keine Primzahl, sofort das Gegenteil folgern kann. In Formeln:

Prädikat für Primzahl : prim(x)
Prädikat für Differenzierbar : diff(f(x))

Die logische Folgerung

$\begin{eqnarray*} \forall x.prim(x) \Rightarrow \forall f(x).diff(f(x)) \end{eqnarray*}$

ist wahr. Sie ist aber auch wahr wenn $\begin{eqnarray*} F \Rightarrow F \end{eqnarray*}$ gilt, und das liegt hier vor. Die Konklusion einer Folgerung darf nur dann in Deinen Formelkanon aufgenommen werden, wenn sie gegeben einer wahren Aussage als wahr bewiesen wurde oder ein Axiom ist. Für unser Problem ist etwa :

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \Leftarrow \neg(\forall x. x \in \emptyset \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$

auch wahr, aber die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$

ist falsch. Aber da die Prämisse schon falsch war spielt das für die Folgerung keine Rolle. Die Formel

$\begin{eqnarray*} \emptyset \subset M \end{eqnarray*}$

ist wie bewiesen äquivalent zum Wahrheitswert W, insbesondere heisst das, dass

$\begin{eqnarray*} W \Rightarrow \emptyset \subset M \end{eqnarray*}$

wahr ist,und damit gilt die Aussage.

Du musst also unterscheiden zwischen der logischen Folgerung und der Konklusion. Die Folgerung ist eine "Verknüpfung" von 2 Aussagen. Diese Verknüpfung kann wahr oder falsch sein, das heisst aber nicht das die beiden Aussagen zwingen wahr oder falsch sein müssen.

edit :

Der Beweis ist falsch denn Du nimmst an das $\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$ , das heisst Du nimmst von vornherein an das diese Formel wahr ist, dann sagt Du aber es ist

$\begin{eqnarray*} \exists x \in \emptyset. x \not \in M \end{eqnarray*}$

und diese Aussage ist falsch den es existiert kein x in der leeren Menge, damit ist der existenzquantor verletzt. Das heisst Du folgerst W => F was ohnehin schon falsch ist.

Nebenbei solltest Du Dich an die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \exists x . x \in \emptyset \Rightarrow \phi \end{eqnarray*}$

halten, reine Konventionssache (es sei denn ihr habt da ne eigene Konvention) Augenzwinkern

11.10.2007, 14:23

Zeno-2

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Was mache ich? Ich nehme an, daß $\begin{eqnarray*} \emptyset \subset M \end{eqnarray*}$ ??

Nein, ich habe (hoffentlich) gesagt, daß $\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$ !!

Zitat:

Nebenbei solltest Du Dich an die Schreibweise

Ich bin kein Mathematiker, nur doofer Physiker, der bei dir abguckt... Big Laugh

11.10.2007, 14:27

Mazze

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Ich habe es editiert, aber das tut dem Sinn nichts ab. Ich meinte ja auch $\begin{eqnarray*} \emptyset \not \subset M \end{eqnarray*}$ .

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