Such Idee für Beweis in der komplexen Analysis

10.10.2007, 17:33

blub85

Such Idee für Beweis in der komplexen Analysis

Hallo !

Ich arbeite gerade an folgendem Beweis:

Zitat:

Drei verschiedene Punte $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3 \end{eqnarray*}$ der Gaußschen Zahlenebene liegen genau dann auf einer Geraden, wenn es eine reelle Zahl r gibt mit

$\begin{eqnarray*} z_3 - z_1 = r(z_2 - z_1) \end{eqnarray*}$

Könntet ihr mir da einen Ansatz geben, wie ich diesen Beweis führen könnte...

Ich überlege die ganze Zeit wie ich eine Geradengleichung etc. einbauen könnte. Ich denke fast, dass diese unabdingbar ist, oder?!

>Vielen dank!

10.10.2007, 17:43

blub85

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe eine Idee, weiß aber nicht ob diese mathematisch ausreichend ist..

Stellt man die Gleichung nach z_3 um erhält man:

$\begin{eqnarray*} z_3 = r(z_2-z_1)+z_1 \end{eqnarray*}$

Wir haben nun als "Ausgangspunkt" z_1 und addieren hierzu "ds Verhältnis" zwischen z_2 und z_1 multipliziert mit r hinzu...

Durch z_2 - z_1 ist ja quasi die Richtung der Geraden gegeben und z_1 gibt den entsprechenden "Ausgangspunkt" vor... r gibt also nur noch an, wie weit der Punkt z3 von z1 weg ist....

Das ist aber denke ich noch kein Beweis, oder?! unglücklich

EDIT: oder kann man mit einem "Gegenbeweis" arbeiten, in dem man sagt: gehen wir davon aus, dass r nicht benötigt ist, also den Wert 1 hat,...... !?

10.10.2007, 17:50

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich persönlich würde die komplexen Zahlen als Vektoren auffassen. Versuchs mal damit ich meld mich wieder.

Gruß, Philipp

10.10.2007, 17:52

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs denn, wenn du nach r auflöst.

r soll eine reelle Zahl sein, was heißt das dann für den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} \end{eqnarray*}$ ?

10.10.2007, 18:00

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm also mit Vektoren ist das eigentlich trivial. du musst nur beweisen, dass der Vektor z1z3 = k * z1z2 (Skalarprodukt). Durch die S-Multiplikation verändert sich definitionsgemäß nur die Länge und nicht die Richtung.

EDIT: Autsch jetzt krieg ich eins auf den Deckel weil ich die Lösung gleich gesagt hab. Forum Kloppe

10.10.2007, 18:01

blub85

Auf diesen Beitrag antworten »

mmh, dass der Imaginärteil sich rauskürzen muss?! :/

abver dann wräs ja eine rationale Zahl... aber alle rationale Zahlen sind ja gleichzeitig auch reele, von daher....

@Duedi: bin in Vektorrechnung nicht wirklich fit (hab erst nächstes Sem. ne Vorlesung drin. und mein Schulwissen habe ich mir bereits versoffen Augenzwinkern

)
daher will ich mal dem anderen vorschlag nachgehn... sei mir nicht böse Prost

10.10.2007, 18:04

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso rauskürzen? Ach wahrscheinlich hast du meine Notation falsch verstanden: Über z1z2 gehört ein Pfeil (gemeint ist der Vektor mit Fußpunkt z1 und Spitze z2)

EDIT: @Zellerli: Bei deinem Weg bekommst du evtl. Schwierigkeiten wenn z1=z2 was Definition nicht ausschließt :P. Ja ich weiß Spitzfindigkeit Big Laugh

10.10.2007, 18:06

blub85

Auf diesen Beitrag antworten »

is klar.. ich bin allerdings auf den Post von Zellerli eingegangen....

EDIT: Zellerli, könntest Du Dich nochmal melden?! Hab dir vor paar 3 posts ca geantwortet.....

10.10.2007, 18:57

blub85

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zellerli
Wie wärs denn, wenn du nach r auflöst.

r soll eine reelle Zahl sein, was heißt das dann für den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Zellerli
mmh, dass der Imaginärteil sich rauskürzen muss?! :/

Kann mir da keiner eine Antwort drauf geben ??? Gott

10.10.2007, 20:47

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

EDIT: @Zellerli: Bei deinem Weg bekommst du evtl. Schwierigkeiten wenn z1=z2 was Definition nicht ausschließt :P. Ja ich weiß Spitzfindigkeit

Also du meinst dann dass zu beweisen ist dass 2 Zahlen auf einer Geraden liegen Augenzwinkern

Das tun sie immer...

Sorry, hat weng gedauert, blub85.
Ja das habe ich gemeint, dass der Imaginärteil weg ist und eine Zahl mit Imaginärteil 0 ist eine Reelle Zahl (oder?) Augenzwinkern

10.10.2007, 21:40

blub85

Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh, der fällt aber doch gar nicht weg ?!?!?!

Setzen wir mal

$\begin{eqnarray*} z_1=a+ib; z_2=c+id; z_3=e+if \end{eqnarray*}$

Setzen wir das in

$\begin{eqnarray*} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} \end{eqnarray*}$

ein, ergibt dies:

$\begin{eqnarray*} \frac{e-a+i(f-b)}{c-a+i(d-b)} \end{eqnarray*}$

oder?!

und da kann man ja nicht den Imaginärteil wegstreichen....

danke für deine hilfe!

11.10.2007, 13:03

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} ((c-a) - i(d-b)) \end{eqnarray*}$ . Dann hast du den Nenner erstmal reell.
Mensch, der Reusch hat das doch so schön erklärt Augenzwinkern

Übrigens würdest du mit der Vektormethode viiiel schneller hinkommen, aber dann machen wirs mit Mittelstufengeometrie:

Jedenfalls bleibt nach der Erweiterung ein reeller Nenner und als hässlicher Imaginärteil:

$\begin{eqnarray*} (ad-de+be+cf-af-bc) \end{eqnarray*}$

Das soll Null sein. Nur wenn $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3 \end{eqnarray*}$ auf einer Geraden liegen gelten Strahlensätze:

z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{e}=\frac{b}{f} \end{eqnarray*}$

Mit deren Hilfe sich da oben alles Stück für Stück wegkürzt. Z.b. ist dann $\begin{eqnarray*} ad=bc \Rightarrow ad-bc = 0 \end{eqnarray*}$ Und am Ende ist der ganze Imaginärteil 0.

Nur bei einer Ursprungsgerade hast du es so einfach, dass sich sofort im ersten Bruch alle wegkürzt...

11.10.2007, 13:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@blub: Du kannst ein wenig analytische Geometrie? Gut. Die Gerade, die durch z1 und z2 verläuft, wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} z = z_1 + t(z_2-z_1),\,t\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

Dabei ist z1 der Ortsvektor, und (z2 - z1) ist der Richtungsvektor. Wann liegt also z3 auf der Geraden?

11.10.2007, 13:33

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zellerli:
Wenn z1=z2 dann steht da:
$\begin{eqnarray*} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{z_3-z_1}{0} \end{eqnarray*}$
Was nicht definiert ist

11.10.2007, 15:16

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo wenn z1=z2 erübrigt sich der Beweiß, da man dann 2 Punkte hat die immer auf einer Geraden liegen.

Neue Frage »

Antworten »

Such Idee für Beweis in der komplexen Analysis

Verwandte Themen