Entweder eine oder drei Extremstellen

10.04.2005, 14:10

freitag

Entweder eine oder drei Extremstellen

Hallo!
ich habe folgende funktion: $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} x^{4} +kx^{2} -2 \end{eqnarray*}$

k ist beliebig

jetzt soll ich zeigen, dass die funktion entweder eine oder drei extremstellen besitzt und für welche werte von k dies zutrifft. kann mir vielleicht mal jemand nen denkanstoß geben, wie ich das machen soll? Danke schonmal! smile

10.04.2005, 14:13

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Wie bestimmt man denn die Extremstellen verwirrt

Was musst du dazu machen?

10.04.2005, 14:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

also zunächst:
das ist keine funktion, dass ist nur ein term, da fehlt f(x)=... oder sowas ähnliches

dann: was machst du denn normal zum bestimmen der extremstellen?
ableiten.....
also fang doch damit mal an und poste dann mal deine ableitung.

10.04.2005, 14:13

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

achso: $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

10.04.2005, 14:14

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LOED
also zunächst:
das ist keine funktion, dass ist nur ein term, da fehlt f(x)=... oder sowas ähnliches

dann: was machst du denn normal zum bestimmen der extremstellen?
ableiten.....
also fang doch damit mal an und poste dann mal deine ableitung.

ja sorry, das f(x) hab ich weggelassen

10.04.2005, 14:16

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

ableitung wäre $\begin{eqnarray*} -x^{3} + 2kx \end{eqnarray*}$ oder?

10.04.2005, 14:16

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, gehört dazu..... in klausren würde ich als lehrer für sowas gnadenlos punkte abziehen, also gewöhn dir das lieber nicht so an!
nur ein gutgemeinter rat von mir!

also dann: jetzt mal ran an die ableitung!

edit: mit f'(x)= davor wäre die ableitung korrekt....

10.04.2005, 14:17

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von freitag
ableitung wäre $\begin{eqnarray*} f'(x) = -x^{3} + 2kx \end{eqnarray*}$ oder?

10.04.2005, 14:20

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
korrekt!!so und nun brauchst du noch die 2.ableitung!!

10.04.2005, 14:22

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

ok..

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -3x^{2} + 2k \end{eqnarray*}$

richtig so?

10.04.2005, 14:26

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

joa aber erstmal die erste ableitung ausschlachten....

schau doch erst mal, für welche k aus IR, die ableitung eine, für welche sie drei nullstellen hat.

also erstmal f'=0 setzen, x ausklammern, quadratische gleichung lösen......

mfg jochen

10.04.2005, 14:36

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab mal -2, -1, 0, 1, 2 ausprobiert...

die negativen zahlen und die 0 haben eine nullstelle, die positiven drei nullstellen

10.04.2005, 15:02

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo??

10.04.2005, 15:09

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Du musst nun die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

nach x auflösen. Was hast du da für x raus??

10.04.2005, 16:27

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

so, wieder da...

f'(x) = 0 wäre dann nach x umgestellt folgendes:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2k} \end{eqnarray*}$

richtig?

10.04.2005, 16:29

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlen aber noch zwei andere Nullstellen.

10.04.2005, 16:32

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, müssten 3 sein... aber wie komm ich auf die anderen 2?

10.04.2005, 16:40

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir können ein x ausklammern:

$\begin{eqnarray*} -x^3 + 2kx &= 0 \\ -x\left(x^2 - 2k\right) &= 0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird immer dann 0, wenn eine Faktor 0 wird, ne?

Also das x wor der Klammern wird 0, wenn wir 0 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{-x}_{x_1 = 0}\left(x^2 - 2k\right) &= 0 \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir noch gucken, wann der andere Faktor 0 wird:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2k &= 0 \\ x^2 &= 2k \\ x_{2/3} &= \pm\sqrt{2k} \end{eqnarray*}$

Wenn du aus einer Zahl die Wurzel ziehst, gibt es immer zwei Lösungen. Eine positive und eine negative Lösung. Denn, z.B

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \Rightarrow x_{1/2} = \pm 3 \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun die Probe machen, ist $\begin{eqnarray*} 3^2 = 9 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} (-3)^2 = 9 \end{eqnarray*}$ .

10.04.2005, 16:44

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich hab am anfang nicht x ausgeklammert... dann ist klar, das hab ich verstanden smile

wie gehts nun weiter?

10.04.2005, 16:49

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du prüfen, ob an diesen drei Stellen überhaupt ein Extremum vorliegt. Also in die zweite Ableitung einsetzen.

Dabei muss du auch eine Fallunterscheidung machen: Was ist wenn k = 0, k < 0 und k > 0.

10.04.2005, 16:54

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Jetzt musst du prüfen, ob an diesen drei Stellen überhaupt ein Extremum vorliegt. Also in die zweite Ableitung einsetzen.

Dabei muss du auch eine Fallunterscheidung machen: Was ist wenn k = 0, k < 0 und k > 0.

also $\begin{eqnarray*} f''(x_1) = -3x^{2} +2k \end{eqnarray*}$ oder?

10.04.2005, 16:57

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

und somit dann für alle x meinen wert für x_1 einsetzen, ne?

wäre dann also $\begin{eqnarray*} f''(x_1) = -3*0^{2} +2k \end{eqnarray*}$

10.04.2005, 17:01

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f''(x_1) = 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x_2) = -4k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x_3) = -4k \end{eqnarray*}$

richtig??

10.04.2005, 17:08

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt

. Also für alle $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein Extrem, weil $\begin{eqnarray*} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ Freude

.

Jetzt musst du gucken, was passiert, wenn k = 0, k < 0 und k > 0.

10.04.2005, 17:21

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Jetzt musst du gucken, was passiert, wenn k = 0, k < 0 und k > 0.

hmm wie muss ich das jetzt genau machen? einfach was einsetzen?

10.04.2005, 17:28

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das bloß angeben.

Wenn du nun überlegst, was passiert, wenn du für k negative Zahlen einsetzt??

Was passiert wenn du k = 0 einsetzt?

und was passiert, wenn du eine positive Zahl einsetzt? (also k > 0)

10.04.2005, 17:32

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
du kannst die fallunterscheidung dann wie folgt machen:

da ja gelten soll:

k=0
k>0
k<0

kannst du einfach schauen, ob die 2.Ableitung die drei obenstehenden Bedingungen erfüllt. Für k=0 könntest einfach 0 in die 2.Ableitung einsetzen (in diesem Fall!!) undsonst prüfst du was passiert, wenn du "minus"-Werte oder "plus"-Werte in die 2.ableitung einsetzt, also vorzeichenwechsel oder so etwas!!

traurig

da war schon wieder iammrvip schneller als ich traurig

@iammrvip: wäre eigentlich auch ein Sattelpunkt als Extremum definiert?

10.04.2005, 17:35

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
@iammrvip: wäre eigentlich auch ein Sattelpunkt als Extremum definiert?

Nein.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

10.04.2005, 17:41

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok.. wäre die aufgabe damit erfüllt?

10.04.2005, 17:44

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst jetzt noch die einzelnen Fälle aufschreiben, dann bist du fertig Augenzwinkern

10.04.2005, 17:48

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, wie sieht es mit einer funktion aus, auf der für k > 0 alle extrema liegen? könnte mir das vielleicht noch schnell jemand erklären?

10.04.2005, 17:52

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn wenn du bei $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ein negatives k einsetzt unter der Wurzel??

10.04.2005, 17:56

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Was passiert denn wenn du bei $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ein negatives k einsetzt unter der Wurzel??

das wär schlecht, denn unter der wurzel sollte nix negatives stehen

10.04.2005, 18:07

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, also gibt es für $\begin{eqnarray*} k < 0 \end{eqnarray*}$ dort keine Extrema Freude

10.04.2005, 18:51

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von freitag
achso, wie sieht es mit einer funktion aus, auf der für k > 0 alle extrema liegen? könnte mir das vielleicht noch schnell jemand erklären?

10.04.2005, 18:58

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gibt es natürlich Extrema. Wenn du irgendwelche Zahlen > 0 einsetzen, ist ja f'' immer ungleich 0, also gibt es Extrema Augenzwinkern

10.04.2005, 19:00

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Dann gibt es natürlich Extrema. Wenn du irgendwelche Zahlen > 0 einsetzen, ist ja f'' immer ungleich 0, also gibt es Extrema Augenzwinkern

naja die aufgabe verlangt die bestimmung dieser gleichung... kannst du mir vielleicht mal schnell schreiben, was ich dazu alles machen muss?

10.04.2005, 19:06

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

viel berechnen kannst du da nicht.

Es ist doch trivial, dass für $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ auch immer $\begin{eqnarray*} f''(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_3) \end{eqnarray*}$ ungleich 0 ist und somit ein Extrema vorliegt.

Wenn man aber $\begin{eqnarray*} k < 0 \end{eqnarray*}$ wählt, besitzt $\begin{eqnarray*} f''(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_3) \end{eqnarray*}$ keine reellen Lösung, also kann es da auch keine Extrema geben. D.h. besser: $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ sind überhaupt nicht definiert.

Bei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ kann man alles beliebigen $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen, so dass es immer ein Extrema gibt.

10.04.2005, 19:09

freitag

Auf diesen Beitrag antworten »

na die aufgabe hab ich schon. ich hatte noch einen b-teil mit drangehangen Big Laugh

10.04.2005, 19:18

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst die Ortskurve bestimmen. Also die Gleichung die durch alles Extrempunkt durchgeht, sie verbindet.

Dazu nimmst du den Extrempunkte, z.B.

$\begin{eqnarray*} P(\sqrt{2k}|...) \end{eqnarray*}$

bestimmst noch das y. dann setzt du

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2k} \end{eqnarray*}$

das stellst du nach k um und ersetzt bei $\begin{eqnarray*} y = ... \end{eqnarray*}$ das was du beim Umstellen erhälst für k.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Entweder eine oder drei Extremstellen

Verwandte Themen