Entweder eine oder drei Extremstellen

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freitag Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder eine oder drei Extremstellen
Hallo!
ich habe folgende funktion:

k ist beliebig

jetzt soll ich zeigen, dass die funktion entweder eine oder drei extremstellen besitzt und für welche werte von k dies zutrifft. kann mir vielleicht mal jemand nen denkanstoß geben, wie ich das machen soll? Danke schonmal! smile
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Wie bestimmt man denn die Extremstellen verwirrt

Was musst du dazu machen?
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also zunächst:
das ist keine funktion, dass ist nur ein term, da fehlt f(x)=... oder sowas ähnliches

dann: was machst du denn normal zum bestimmen der extremstellen?
ableiten.....
also fang doch damit mal an und poste dann mal deine ableitung.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

achso:
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
also zunächst:
das ist keine funktion, dass ist nur ein term, da fehlt f(x)=... oder sowas ähnliches

dann: was machst du denn normal zum bestimmen der extremstellen?
ableiten.....
also fang doch damit mal an und poste dann mal deine ableitung.


ja sorry, das f(x) hab ich weggelassen
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

ableitung wäre oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, gehört dazu..... in klausren würde ich als lehrer für sowas gnadenlos punkte abziehen, also gewöhn dir das lieber nicht so an!
nur ein gutgemeinter rat von mir!

also dann: jetzt mal ran an die ableitung!


edit: mit f'(x)= davor wäre die ableitung korrekt....
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von freitag
ableitung wäre oder?
smile
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
korrekt!!so und nun brauchst du noch die 2.ableitung!!
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

ok..



richtig so?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

joa aber erstmal die erste ableitung ausschlachten....

schau doch erst mal, für welche k aus IR, die ableitung eine, für welche sie drei nullstellen hat.

also erstmal f'=0 setzen, x ausklammern, quadratische gleichung lösen......

mfg jochen
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab mal -2, -1, 0, 1, 2 ausprobiert...

die negativen zahlen und die 0 haben eine nullstelle, die positiven drei nullstellen
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

hallo??
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Du musst nun die Gleichung:



nach x auflösen. Was hast du da für x raus??
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

so, wieder da...

f'(x) = 0 wäre dann nach x umgestellt folgendes:



richtig?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlen aber noch zwei andere Nullstellen.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

ja, müssten 3 sein... aber wie komm ich auf die anderen 2?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Wir können ein x ausklammern:



Ein Produkt wird immer dann 0, wenn eine Faktor 0 wird, ne?

Also das x wor der Klammern wird 0, wenn wir 0 einsetzen:



Nun müssen wir noch gucken, wann der andere Faktor 0 wird:



Wenn du aus einer Zahl die Wurzel ziehst, gibt es immer zwei Lösungen. Eine positive und eine negative Lösung. Denn, z.B



Wenn wir nun die Probe machen, ist und auch .
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich hab am anfang nicht x ausgeklammert... dann ist klar, das hab ich verstanden smile wie gehts nun weiter?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du prüfen, ob an diesen drei Stellen überhaupt ein Extremum vorliegt. Also in die zweite Ableitung einsetzen.

Dabei muss du auch eine Fallunterscheidung machen: Was ist wenn k = 0, k < 0 und k > 0.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Jetzt musst du prüfen, ob an diesen drei Stellen überhaupt ein Extremum vorliegt. Also in die zweite Ableitung einsetzen.

Dabei muss du auch eine Fallunterscheidung machen: Was ist wenn k = 0, k < 0 und k > 0.


also oder?
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

und somit dann für alle x meinen wert für x_1 einsetzen, ne?

wäre dann also
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich folgendes:





richtig??
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Freude . Also für alle gibt es ein Extrem, weil Freude .

Jetzt musst du gucken, was passiert, wenn k = 0, k < 0 und k > 0.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Jetzt musst du gucken, was passiert, wenn k = 0, k < 0 und k > 0.


hmm wie muss ich das jetzt genau machen? einfach was einsetzen?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das bloß angeben.

Wenn du nun überlegst, was passiert, wenn du für k negative Zahlen einsetzt??

Was passiert wenn du k = 0 einsetzt?

und was passiert, wenn du eine positive Zahl einsetzt? (also k > 0)
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
du kannst die fallunterscheidung dann wie folgt machen:

da ja gelten soll:

k=0
k>0
k<0

kannst du einfach schauen, ob die 2.Ableitung die drei obenstehenden Bedingungen erfüllt. Für k=0 könntest einfach 0 in die 2.Ableitung einsetzen (in diesem Fall!!) undsonst prüfst du was passiert, wenn du "minus"-Werte oder "plus"-Werte in die 2.ableitung einsetzt, also vorzeichenwechsel oder so etwas!!


traurig da war schon wieder iammrvip schneller als ich traurig traurig traurig unglücklich

@iammrvip: wäre eigentlich auch ein Sattelpunkt als Extremum definiert?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
Zitat:
Original von brunsi
@iammrvip: wäre eigentlich auch ein Sattelpunkt als Extremum definiert?

Nein.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok.. wäre die aufgabe damit erfüllt?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst jetzt noch die einzelnen Fälle aufschreiben, dann bist du fertig Augenzwinkern .
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

achso, wie sieht es mit einer funktion aus, auf der für k > 0 alle extrema liegen? könnte mir das vielleicht noch schnell jemand erklären?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn wenn du bei oder ein negatives k einsetzt unter der Wurzel??
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Was passiert denn wenn du bei oder ein negatives k einsetzt unter der Wurzel??


das wär schlecht, denn unter der wurzel sollte nix negatives stehen
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, also gibt es für dort keine Extrema Freude .
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von freitag
achso, wie sieht es mit einer funktion aus, auf der für k > 0 alle extrema liegen? könnte mir das vielleicht noch schnell jemand erklären?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gibt es natürlich Extrema. Wenn du irgendwelche Zahlen > 0 einsetzen, ist ja f'' immer ungleich 0, also gibt es Extrema Augenzwinkern .
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Dann gibt es natürlich Extrema. Wenn du irgendwelche Zahlen > 0 einsetzen, ist ja f'' immer ungleich 0, also gibt es Extrema Augenzwinkern .


naja die aufgabe verlangt die bestimmung dieser gleichung... kannst du mir vielleicht mal schnell schreiben, was ich dazu alles machen muss?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

viel berechnen kannst du da nicht.

Es ist doch trivial, dass für auch immer und ungleich 0 ist und somit ein Extrema vorliegt.

Wenn man aber wählt, besitzt und keine reellen Lösung, also kann es da auch keine Extrema geben. D.h. besser: und sind überhaupt nicht definiert.

Bei kann man alles beliebigen einsetzen, so dass es immer ein Extrema gibt.
freitag Auf diesen Beitrag antworten »

na die aufgabe hab ich schon. ich hatte noch einen b-teil mit drangehangen Big Laugh
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst die Ortskurve bestimmen. Also die Gleichung die durch alles Extrempunkt durchgeht, sie verbindet.

Dazu nimmst du den Extrempunkte, z.B.



bestimmst noch das y. dann setzt du



das stellst du nach k um und ersetzt bei das was du beim Umstellen erhälst für k.
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