Fragen zu [Workshop]-[Vollständige Induktion] - Seite 2

21.10.2004, 21:46

Mathespezialschüler

Also habt ihr denn schon irgendwelche Ideen? Wo hakts denn?

@Gast
Hast du schon den Induktionsanfang und den Anfang zum Induktionsschritt?

@Blindy
Deine Formel stimmt so erstmal nicht! Du musst v von 0 bis n und nich von 1 bis n laufen lassen! Augenzwinkern

Hast du schon die Induktionsvoraussetzung und den Anfang des Induktionsschritts? Oder irgendeinen anderen Ansatz?

26.10.2004, 18:15

Blindy

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Hey Mathespezialschüler...
Stimmt, du hast Recht... Die Summe läuft von 0 weg... Mein Fehler...
Ich werde das mal schnell änder...
Inzwischen hab ich auch von einem Mathe-Studenten die Lösung bekommen...ich schreib sie dir mal die nächsten Tage hier rein.(wenn ich mal wieder mehr zeit habe;-)
Bis dann

26.10.2004, 22:01

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Blindy
Inzwischen hab ich auch von einem Mathe-Studenten die Lösung bekommen...ich schreib sie dir mal die nächsten Tage hier rein.(wenn ich mal wieder mehr zeit habe;-)

Das is aber nich Sinn der Sache, dass dir einfach jmd. die Lösung gibt unglücklich

Ich kenne die Lösung (natürlich), sonst hätt ich dir ja nich helfen können. Wegen mir muss sie also nich hier rein! Augenzwinkern

29.12.2004, 17:01

kuh-max

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Hi Leute!
ich hätt da mal ne frage für die geschichtsfraktion: verwirrt

wer hat eigentlich die vollständige induktion erfunden? ich hör da immer wieder was von gauß, dann aber auch wieder, dass 300 jahre vorher sowas schon bekannt war.
wisst ihr da genaueres?!

danke scho mal Mit Zunge

29.12.2004, 18:35

Leopold

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Ich vermute, daß man schwerlich einen Erfinder der vollständigen Induktion benennen kann. Vielmehr ist diese Beweisart so sehr mit der Struktur der natürlichen Zahlen verknüpft, daß man das eine nicht ohne das andere denken kann. Und zählen tun die Menschen schon mehrere zehntausend Jahre ...

Intensiv beschäftigt mit der Natur der natürlichen Zahlen und axiomatisch begründet hat sie Peano.

27.02.2005, 11:25

andrej

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Zu Aufgabe 2 von Deakandy
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{3}}{3} > 3n-3 \end{eqnarray*}$

Ich habe probiert die zu lösen.
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{3}}{3} > 3 \cdot 3-3=9>6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+ 1)^{3}}{3} > 3 \cdot (n+1)-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}{3} > 3n + 3 -3 = 3n \end{eqnarray*}$

stimmt das so bisher? Und wie mache ich dann weiter?

\\EDIT by sommer87: BBCodes aktiviert Augenzwinkern

27.02.2005, 14:02

Mathespezialschüler

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Bitte in den Fragethread und nicht in den Workshop posten!
Habs mal rübergeschoben.

06.03.2005, 16:39

MasterSchaab

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huhu leute also in dem workshop wurden ja 2 übungsaufgaben gepostet und eine davon war:

Es gilt: 1+q²+q³+....+q^n = (1-q^{n+1} ) / (1-q)

kann mir hier jemand vielleicht mit dem induktionsschluss helfen da komm ich nicht mehr weiter :'(

06.03.2005, 17:16

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$\begin{eqnarray*} q+q^{2}+...+ q^{n}+ q^{n+1}=\frac{q^{n+2} -1} {q-1} \end{eqnarray*}$

Das ist der Induktionsschluss.Auf der linken Seite kannst du die Annahme verwenden,da der Teil bis q^n der Annahme entspricht.

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1} -1} {q-1}+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann trivial

06.03.2005, 17:19

MasterSchaab

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ich dank dir

07.03.2005, 08:24

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Also ich möchte auch nochmal eine kleine Hilfe zu folgender Aufgabe haben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =2^{n} \end{eqnarray*}$

beim Induktionsschritt gehe ich von der rechten Seite aus:

$\begin{eqnarray*} 2^{n}*2= \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}*2 \end{eqnarray*}$

So nun frage ich mich,wie ich das mit der Summe auflösen kann.Kann mir da vielleicht einer helfen?

07.03.2005, 16:31

Mathespezialschüler

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Schreibe die Summe aus und fasse so zusammen:

$\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=0}^n~{n\choose k}=2\cdot \left({n\choose 0}+{n\choose 1}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {n\choose 0}+\left[{n\choose 0}+{n\choose 1}\right]+\left[{n\choose 1}+{n\choose 2}\right]+...+\left[{n\choose n-2}+{n\choose n-1}\right]+\left[{n\choose n-1}+{n\choose n}\right]+{n\choose n} \end{eqnarray*}$

Benutze jetzt die Formeln

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}\qquad \qquad \end{eqnarray*}$ (für die Klammern)

$\begin{eqnarray*} {n\choose 0}={n+1\choose 0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {n\choose n}={n+1\choose n+1} \end{eqnarray*}$

07.03.2005, 18:22

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hallo MSS

danke für die Tipps.Die Umformungen leuchten mir ein.

Bin jetzt bei:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss man das jetzt ausschreiben?Wenn ja,würde ich jetzt den Sinn nicht sehen,da link und rechts 1 stehen würde

05.04.2005, 01:11

The_Lion

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Hi. Ich hätte auch noch eine grundlegende Frage.
Dazu beziehe ich mich auf die Bernoulli-Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ .

Ind.anfang: klar

n--> n+1:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq_{Ind.Vor.} (1+x) (1+nx) = 1+nx+x+nx^2\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

Was genau ist meine Ind.voraussetzung ? dass (1+x)^n bewiesen ist oder dass (1+x)^1 = 1+x bewiesen ist ?

Wofür wird hier also 1+nx eingesetzt?
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n \geq_{Ind.Vor.} (1+x) (1+nx) \end{eqnarray*}$

Müsste es nicht vielmehr heissen:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n \geq_{Ind.Vor.} (1+x)^n (1+nx) \end{eqnarray*}$ ?
weil man ja für n im Ind.anfang bewiesn hat. Andererseits könnte man auch sagen, man hat für n=1 , also auch für (1+x)^1 den Anfang gemacht ! ? Mache ich jetzt nen Denkfehler ?

Danke.

05.04.2005, 01:28

Mathespezialschüler

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Die Induktionsvoraussetzung ist, dass die Ungleichung für ein n aus N gilt, also

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$

Daraus folgt durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 1+x\geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx) \end{eqnarray*}$

Alles klar?

05.04.2005, 10:39

The_Lion

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aso, alles klar.
danke.

24.04.2005, 11:57

HyperY2K

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RE: Übungen zur Vollständigen Induktion

Zitat:

Original von Deakandy
....

Wer sich mit dem Binomialkoeffizienten auskennt, für den wid auch folgende Aufgabe kein Problem sein
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray*}$

kann mir jemand mal helfen obiges Bs. zu beweisen. Hab erst versucht für n+1 über k es zu beweisen im induktionsschritt, indem ich n+1 über k in k über r und k über r-1 zerlegt habe, aber da komme ich irgendwie nicht weiter...

NEED HELP

24.04.2005, 12:03

JochenX

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@mods: bitte abspalten!
gibt es denn keinen thread für fragen dafür? wenn nein, dann mache ich ihn mal auf....

edit: doch gibts schon:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1550

24.04.2005, 22:39

Mathespezialschüler

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Geteilt

Bitte in den Fragethread und nicht in den Workshop posten! Danke.

03.05.2005, 00:42

Lala

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ich versuche jetzt nochmal mein glück... bekam diese aufgabe vorgesetzt, die ich mit hilfe einer vollständigen induktion lösen soll:
$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{p=0}^n~(-1)^p \cdot \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Habe noch nie in meinem Leben etwas von induktion gehört, un versuche jetzt schon seit tagen diese aufgabe zu lösen... wer kann mir da weiterhelfen? traurig

muss die morgen abgeben

danke schonmal im voraus

03.05.2005, 00:56

Mathespezialschüler

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Ich habe deine Frage hierhin verschoben. Augenzwinkern

Da kannst du jetzt weiterfragen.

13.05.2005, 13:06

mercany

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Hi,

ich habe zwei Fragen bzgl. der Induktionsaufgabe mit 2 Summen.
1) Mir ist nicht ganz klar, wie ich auf die IV komme.
2) Ich verstehe nicht den Sinn, der Anwendung des Gauss.

Wenn mir das vielleicht nochmal jemand verdeutlichen könnte!

Besten Dank
mercany

13.05.2005, 13:53

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Deine Induktionsvoraussetzung ist dir bereits mit der Aufgabe gegeben,die du später in deinem Beweis benutzen kannst.Da brauchst du nichts zu machen,um sie herzuleiten.

Und was meinst du mit Anwendung von Gauß? Etwa die Gauß'sche Summenformel im ersten Beweis?

13.05.2005, 14:58

mercany

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Also, was die IV betrifft, so verstehe ich nicht ganz, warum da steht: $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 + (\sum_{k=1}^n~k)^2 \end{eqnarray*}$
Warum heißt es nicht: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 + (\sum_{k=1}^n~k)^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nun ein kleiner Trick, indem man den Satz von Gauß anwendet

Bezieht sich auf die auf denSatz folgende Umformung. Warum mache ich das hier... ?

Mfg
mercany

13.05.2005, 15:52

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3 = \left( \sum_{k=1}^n~k \right)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist deine Voraussetzung.Er hat also für die linke Seite, die rechte eingesetzt später

Und von (n+1)² ist nie die Rede im Beweis

18.05.2005, 13:56

VinSander82

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Beweis durch vollständige Induktion
Hi Leute bin neu hier, das Thema was ich ansprechen möchte passt in dieser Kategorie.

Ich bin Student in hamburg auf GruMi, hab mein Abi 2002 gemacht und deshalb wahrscheinlich bissle eingerostet wenn es um Mathe geht.

naja ich vesteh nicht wie ich das rechnen soll:
(a+b)

18.05.2005, 14:07

Leopold

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RE: Beweis durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von VinSander82
naja ich vesteh nicht wie ich das rechnen soll:
(a+b)

Ich auch nicht.
Da fehlt doch noch irgendetwas! Oder?

18.05.2005, 14:23

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi bin neu

Kmm nicht so gut klar mit dem schreiben hier, sprich wie man die Formel einsetzt und so:

aber ich versuchs mal auf die Art hoffe das klappt auch.

naja kurz zu mir: bin student aus Hamburg , studier Auf Grund-und Mittelstufe Mathe /Sport

hab 2002 mein Abi gemacht, bin wahrscheinlich deswegen bissle eingerostet wenns um Mathe geht:

Ihr könnt mir evtl. helfenBeweisen sie durch vollständige Induktion:
Für jedes n element N u (0) und alle a, b Element R gilt:#

(a+b) hoch n = n (n) a hochk * b hoch n-k
-- (k)
\
/
--
k=0

hoffe ich habs verständlich genug "gezeichnet"

LG Vinsander

18.05.2005, 14:40

Mathespezialschüler

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Bitte Fragen nicht direkt in den Workshop stellen, sondern in den extra dafür angelegten Frage-Thread, in den ich deine Frage jetzt verschoben habe! Danke.

18.05.2005, 14:56

JochenX

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es gibt einen formeleditor!
versuchs mal damit

18.05.2005, 15:04

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Quält doch einen Neuankömmling nicht so sehr! Binomialkoeffizient gibt es im Formel-Editor als Button nämlich auch nicht! unglücklich

@VinSander82

Du willst also den Binomischen Satz

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$

nachweisen, der $\begin{eqnarray*} \mbox{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Code hierfür ist übrigens

code:
1:	[latex] (a+b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} a^k b^{n-k} [/latex]

Würde mich sehr wundern, wenn dieser Beweis hier nicht irgendwo im Board schon angeführt wurde. Dafür gibt es hier auch eine "Suchen"-Funktion.

EDIT: Den vergessenen Binomialkoeffizienten eingefügt (@LOED: Danke für den Hinweis). Hammer

18.05.2005, 15:07

JochenX

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und wo ist dein $\begin{eqnarray*} n \choose k \end{eqnarray*}$ , arthur?

das wird übrigens im workshop selbst gezeigt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=24799#post24799

edit: klammern weggemacht, die gibt s ja bei " n\choose k" automatisch dazu

18.05.2005, 15:22

Mathespezialschüler

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Der Binomische Satz wurde natürlich schon oft genug bewiesen ...
Wie LOED sagt, hat das Deakandy in seinem Workshop doch sogar schon bewiesen! Augenzwinkern

Falls dir das zu kompliziert ist, guck hier Augenzwinkern

Das is das gleiche in grün, nur halt die Summen ausgeschrieben, damit man sieht, was gemacht wird.

Gruß MSS

18.05.2005, 18:00

VinSander82

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danke @ all, ihr seid richtig nett...hat mir weiter geholfen

Peace

03.08.2005, 01:47

babelfish

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hm, eins versteh ich noch nicht so recht...

Zitat:

Original von Deakandy
3.Beispiel
Es sei folgende Ungleichung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac {4^n} {2 \cdot n+1} < \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IA: Für n=1 ist

$\begin{eqnarray*} \frac {4^1} { 2\cdot 1 +1} =\frac {4} {3} < 2= \begin{pmatrix} 2\cdot 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (w) (edit: hier verbessert, jochen)

IV: Es gelte für ein $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$
IS: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
zu zeigen
$\begin{eqnarray*} \frac {4^{n+1}} {2\cdot n+3} < \begin{pmatrix} 2\cdot n +2\\n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun gehe ich einmal von der rechten Seite aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \cdot n +2 \\ n+1\end{pmatrix} = \frac{(2\cdot n+2) \cdot (2\cdot n+1)\cdot (2\cdot n)!} {(n+1)^2 \cdot (n!)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2 \cdot n+2)\cdot (2\cdot n+1)} {(n+1)^2} \cdot \frac {2 \cdot n!} {n!\cdot n!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {2\cdot n!} {n!\cdot n!} \end{eqnarray*}$ ist wenn man genau hinsieht der ausgeschrieben Binomialkoeffizient von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\cdot n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also kann man die Induktionsvoraussetzung einsetzen
Man erhält
$\begin{eqnarray*} \frac {(2n+2)\cdot (2n+1)} {(n+1)^2}\frac {4^n} {2n+1} > \frac {4^{n+1}} {2n+3} \end{eqnarray*}$

wieso darf man bei diesem beispiel einfach für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \cdot n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus der induktionsvoraussetzung das $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{2n+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen? wenn das zu beweisende eine gleichung wäre, könnte ichs ja noch verstehen, aber warum darf man dies auch aus einer ungleichung einsetzen - ist ja schließlich (wie der name schon sagt) ungleich! Augenzwinkern

wär schön, wenn ihr mir auf die sprünge helfen könntet... Wink

03.08.2005, 01:54

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

das Ganze nennt sich ABSCHÄTZUNG

du hast ja nachher nur ungleichungen, einfaches beispiel:
sei bekannt, dass n>3 ist
dann zeigst du n>2 mit einer abschätzungskette:
n>3>2, also n>2

klarer nun?

mfg jochen

ps:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac {4^1} { 2 \cdot 1 +1} < \begin{pmatrix} 2 \cdot 1\\ 1 \end{pmatrix} = \frac {4} {3} < 2 \end{eqnarray*}$

zu diesem "=" in der mitte sage ich mal gar nichts!

03.08.2005, 02:00

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

ahja, verstehe, was du meinst!

allerdings trägt das doch auch ne gewisse ungenauigkeit mit sich, da n>2 ja auch n=2,5 heißen könnte, was aber nicht n>3 wäre... aber deshalb heißts vermutlich auch 'bloß' "abschätzung"...?!

03.08.2005, 02:05

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, in meinem einfachen beispiel ist ja n>3 gegeben

ich erklärs mal etwas genauer:
du gehst von n aus, das schätzt du zunächst ab (mit n>3), das darfst du ja
und 3 kannst du dann wiederum abschätzen (3>2)

damit schätzt du ab: n>3 und 3>2, aber wenn a>b und b>c, dann ist auch a>c
also in deinem fall n>2

in obigem fall:
du machst 2 schritte: in dem, indem du deine induktionsvoraussetzung einsetzt, wird das ganze schon größer (denn du hast hier einen positiven vorfaktor a; dann gilt: wenn x>y, dann ist auch a*x>a*y)
und anschließend wirds dann nochmal größer

und damit wird es insgesmt größer

mfg jochen

ps: hab das mal im workshop editiert

03.08.2005, 02:16

babelfish

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alles klar! danke! smile

22.09.2005, 19:13

Cosmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir sind ganz generell die Beweise für UNgleichungen unklar :-/

Zum Beispiel bei Beispiel 2:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot n^2 > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^2+n^2 > n^2+n(2+ \frac 1 n) = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Dies gilt weil $\begin{eqnarray*} n \ge3\ge 2+ \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Also zum einen ist mir nicht klar, warum auf der rechten Seite schon die ganze Zeit (n+1)² steht, dass soll doch erst gezeigt werden.

So wie ich das Interpretiere, wird die Rechte Seite ausmultipliziert und dann wieder vereinfacht, so dass man wieder auf (n+1)² kommt, was vorher schon da stand. Verstehe ich leider absolut nicht :-(
Ebenso ist mir das n größer 3 größer 2 + 1/n VÖLLIG unklar.
Ich denke n soll größer 5 sein, wieso reicht plötzlich größer 3?

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