Aufgabe zum Leontief Modell

11.10.2007, 15:41	Nightbreezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Leontief Modell Hallo, habe folgende Aufgabe: Die drei Zweige A,B und C einer Volkswirtschaft sind nach dem Leontief-Modell miteinander verpflochten. Gegeben ist: $\begin{eqnarray} (E-A)^-1=\begin{pmatrix} \frac{9}{2} & \frac{53}{8} & 2 \\ \frac{9}{2} & \frac{73}{8} & 2 \\ 2 & \frac{7}{2} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Inputmatrix A, indem Sie die reelle Zahl für k aus dem nebenstehenden Hinweiß bestimmen. $\begin{eqnarray} A=k\begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\ 4 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Hier wäre mal ein kleiner ansatz ganz nett. Ich müsste ja irgentwie von der Leontief Inversen auf die Koeffizienten Matrix kommen oder? Bitte um kurze Hilfe. Danke Gruss Nightbreezer
11.10.2007, 16:56	cubey	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &; 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k & 5k & 4k \\ 4k & 6k & 0 \\ 2k & 2k & k \end{pmatrix}\right) &=& \begin{pmatrix} \frac{9}{2} & \frac{53}{8} & 2 \\ \frac{9}{2} & \frac{73}{8} & 2 \\ 2 & \frac{7}{2} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme die Inverse und stelle anschließend ein Gleichungssystem auf, welches du nach k auflöst.
11.10.2007, 16:57	cubey	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte $\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k & 5k & 4k \\ 4k & 6k & 0 \\ 2k & 2k & k \end{pmatrix}\right)^{-1} &=& \begin{pmatrix} \frac{9}{2} & \frac{53}{8} & 2 \\ \frac{9}{2} & \frac{73}{8} & 2 \\ 2 & \frac{7}{2} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
11.10.2007, 19:08	Nightbreezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wen ich die jetzt Subtrahiere Dann bleibt ja: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-k & -5k & -4k \\ -4k & 1-6k & 0 \\ -2k & -2k &1- k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie soll ich den jetzt hieraus die inverse bilden, das geht ja gar nicht mit der 1-k da zum Beispiel.
11.10.2007, 21:39	cubey	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum geht das nicht? $\begin{eqnarray} (1-k) \cdot x = 4k \Leftrightarrow x = \frac{4k}{(1-k)} \end{eqnarray}$ Also, multipliziere Zeile 1 mit $\begin{eqnarray} \frac{4k}{(1-k)} \end{eqnarray}$ und addiere es auf Zeile 2.
12.10.2007, 18:59	Nightbreezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt mal die ersten beiden Zeilen addiert, aber das ist dann nicht mehr lösbar da bleiben dann einzelne Elemte wie $\begin{eqnarray} \frac{-20k^2}{(1-k)} +(1-6k) \end{eqnarray}$ übrig. Ist das den der einzige Weg um das zu lösen?
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13.10.2007, 23:37	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze die Beziehung $\begin{eqnarray} (E-A)^{-1} \cdot (E-A) = E \end{eqnarray}$ und löse anschließend nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf. Gruß, mercany

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