Frage zur Vielfachheit der Nullstelle einer Diff.Gleichung

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gibson Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Vielfachheit der Nullstelle einer Diff.Gleichung
Hi!

Hab mal eine Frage.
Wie kann ich die Vielfachheit der Nullstellen einer Diff. Gleichung ermitteln? Ich komm einfach nicht drauf!

Bei einer homogenen Diffgleichung beinhaltet das Ergebnis manchmal ein und manchmal nicht.

zB.:

und machmal


wovon hängt das ab?
ist das im Komplexen auch so?


lg
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

bitte um hilfe!
sitze schon seit 2 stunden an einem beispiel!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib doch mal das Beispiel hin.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Vielfachheit der Nullstelle einer Diff.Gleichung
Zitat:
Original von gibson


So steht das sicher nicht da. Was du meinst ist einfach die Vielfachheit einer Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

jap wie komm ich auf diese?

Beispiel:



Hom. Gleichung:
Ansatzverfahren. Lösung für die Lambda:

1. Problem: Was ist hier mein ?

Inhom. Gleichung:

Sperzielle Lösung



Nur was ist mein ??
Ich komm nicht auf die spezielle Lösung!!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gibson
jap wie komm ich auf diese?

Beispiel:



Hom. Gleichung:
Ansatzverfahren. Lösung für die Lambda:

1. Problem: Was ist hier mein ?


Naja, wie oft kommt denn jede Lösung vor ?


Zitat:
Inhom. Gleichung:

Sperzielle Lösung



Nur was ist mein ??
Ich komm nicht auf die spezielle Lösung!!


Ansetzen musst du schon mit einem allgemeinen Polynom 2-ten Grades, d.h. auch mit linearem Glied. Hier ist , weil Null ja keine Nullstelle des char. Polynoms ist (dieses ist von dem obigen natürlich verschieden, besser, wenn du verschiedene Bezeichnungen wählst !).

Grüße Abakus smile
 
 
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh, also macht man das so.

Bei der homogenen Gleichung schaut man sich an, wieviele Nustellen es gibt. In meinem Fall 2. also ist .

Bei der inhomogenen Gleichung schaut man sich ebenfalls die Nulstellen an und vergleicht sie mit dem der homogenen Gleichung. Da es keine "gemeinsamen" Nulstellen gibt ist .

Meine Spezielle Lösung lautet also:


?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gibson
ahhh, also macht man das so.

Bei der homogenen Gleichung schaut man sich an, wieviele Nustellen es gibt. In meinem Fall 2. also ist .


Nein, du schaust dir die Vielfachheit jeder Nullstelle an. Und die wäre jeweils 1.


Zitat:
Bei der inhomogenen Gleichung schaut man sich ebenfalls die Nulstellen an und vergleicht sie mit dem der homogenen Gleichung. Da es keine "gemeinsamen" Nulstellen gibt ist .

Meine Spezielle Lösung lautet also:


?


Ja, ok. Etwas Übung macht in solchen Fällen den Meister... also ruhig einige Aufgaben durchtesten.

Grüße Abakus smile
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön.
2 Fragen noch:

Und was versteht man unter "Vielfachheit" der Nullstellen. Eine Nullstelle kann doch nur einmal und nicht öfter auftreten!? Beispiel?


"Bei der inhomogenen Gleichung schaut man sich ebenfalls die Nulstellen an und vergleicht sie mit dem der homogenen Gleichung. Da es keine "gemeinsamen" Nulstellen gibt ist ."

Warum ist das so? Also warum kann man da einfach vergleichen, welchen Zusammenhang gibt es?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gibson
Dankeschön.
2 Fragen noch:

Und was versteht man unter "Vielfachheit" der Nullstellen. Eine Nullstelle kann doch nur einmal und nicht öfter auftreten!? Beispiel?


In ist 5 eine 4-fache, 2 eine 3-fache, und 7 eine einfache Nullstelle.


Zitat:
"Bei der inhomogenen Gleichung schaut man sich ebenfalls die Nulstellen an und vergleicht sie mit dem der homogenen Gleichung. Da es keine "gemeinsamen" Nulstellen gibt ist ."

Warum ist das so? Also warum kann man da einfach vergleichen, welchen Zusammenhang gibt es?


Eine genaue Antwort auf dein "warum" kriegst du wohl nur, wenn du in den entsprechenden Beweis reinschaust. Intuitiv gesehen, steht bei einer mehrfachen Nullstelle in der homogenen Lösung ja schon ein Polynom, was sich dann auf die inhomogene Lösung auswirkt.

Grüße Abakus smile
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine frage:

Wie schaut mein Polynom bei der speziellen Lsg aus, bei folgender Diff-Gleichung:


hier ist

schaut das polynom meiner speziellen lösung so aus:


?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gibson
noch eine frage:

Wie schaut mein Polynom bei der speziellen Lsg aus, bei folgender Diff-Gleichung:


hier ist

schaut das polynom meiner speziellen lösung so aus:


?


Das ist kein Polynom, da verwendest du diesen Begriff falsch (du meinst die sog. partikuläre Lösung). Dein obiger Ansatz sollte aber eine solche Lösung liefern, ja.

Bedenke allerdings, dass es diese speziellen Ansätze idR nur für relativ einfache Störfunktionen gibt. Dein obiges Beispiel hat schon eine recht schwierige Störfunktion.

Grüße Abakus smile
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.

aber das ganze klappt nicht wie erwartet.

Zb hier:



Lambda der Homogenen Lösung:





spezielle Gleichung:

Nullstelle der Sörfunktion ist 0. Diese Nullstelle kommt nicht in der homogenen Lösung vor.
Das heißt eig. müsste meine partikuläre Lösung lauten:


Tut sie aber nicht!
warum?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstelle 0 des Störgliedes ist vollkommen irrelevant!

Der Ansatz für Störglied lautet , wobei Polynom denselben Grad wie Polynom haben muss.

Bei dir ist und !!!
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

das passt dann aber nicht auf das erste beispiel, was ich hier gepostet hab:




Hom. Gleichung:
Ansatzverfahren. Lösung für die Lambda:



Inhom. Gleichung:

Spezielle Lösung

// hier ist , obwohl es doch heißen sollte und das wäre dann ja
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt sehr wohl: Störglied ist hier

,

hier ist also sowie , denn 0 ist ja keine Lösung der char. Gleichung.

Zitat:
Original von gibson
Spezielle Lösung


Abakus hat dich oben schon drauf hingewiesen, dass das volle Polynom zweiten Grades anzusetzen ist - dem kann ich nur zustimmen:

.
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh das nicht!
In der Homogenen Gleichung war mein und mein Lambda war

In der Störfunktion ist mein Lambda auf einmal = 0 und mein ?
Das heißt, dass das verschiedene Lambda sind!?!?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Koeffizient im Exponent des Störterm-Faktors . Und jetzt schau dir die Beispiele nochmal gründlich an.


EDIT: Mir schwant da etwas: Du bist nicht in der Lage, das in der charakteristischen Gleichung von dem im Störterm gedanklich zu trennen. An sowas solltest du dich gewöhnen, dich nicht an Symbole zu klammern, sondern die inhaltliche Bedeutung zu erfassen!

Einstweilen trennen wir halt das ganze symbolisch

Zitat:
Original von Arthur Dent (geändert)
Der Ansatz für Störglied lautet , wobei Polynom denselben Grad wie Polynom haben muss.
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

achso!
das lambda der homogenen gleichung hat nix mit dem lambda der inhomogenen gleichung zu tun!
Das heißt, dass wir das der homogenen eig. nicht brauchen?

Trotzdem verwirren mich folgende Beispiele:

1)
Ok hier ist die Störfunktion:
Das heißt:


ABER:
2)
Hier ist die Störgfunktion:
aber die spezielle Lösung lautet trotzdem:


???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich oben schon geschrieben habe: Das gilt nur für Störterme vom Typ mit Polynomen (!) .

Dein letztes Beispiel gehört auch zu diesem Typ, wenn auch nicht so offensichtlich:

Es ist .

Damit lautet dein Störglied

.

Und und auch sind jetzt aber Lösungen der charakteristischen Gleichung ! smile
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke!
"Es ist ."

oje... wie soll man denn auf sowas je kommen =(


ich versuch das ganze mal zu verstehen:

Ich habe eine inhomegene Diff-Gleichung.
Ich löse zuerst die homogene Gleichung, bekomme dafür meine und mein .

Ich stelle stelle die spezielle Lösung auf:
Meine Störfunktion hat die Form
Ist dieses Lambda nun gleich dem Lambda der homogenen Gleichung, betrachte ich das der homogenen Gleichung und kann meine partikuläre Lösung (zB ) aufstellen.

Beispiel dazu:
Ich habe eine Diffgleichung.
Das "homogene" Lambda sei:

und mein sei:


Ich betrachte meine Störfunktion, welche die Form hat.
Ich sehe, dass das Lambda der Störfunktion das selbe, wie in der Homogenen Gleichung ist. mein ist also . Und meine spezielle Lösung hat die Form:




stimmt das so?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gibson
Beispiel dazu:
Ich habe eine Diffgleichung.
Das "homogene" Lambda sei:

und mein sei:


Ich betrachte meine Störfunktion, welche die Form hat.
Ich sehe, dass das Lambda der Störfunktion das selbe, wie in der Homogenen Gleichung ist. mein ist also . Und meine spezielle Lösung hat die Form:




stimmt das so?

Was verstehst du unter "homogenes" ?

Deine Rechnung stimmt so nur dann, falls eine genau zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der homogenen Dgl ist, also z.B. von ist, oder aber vielleicht auch von von , was zur homogenen Dgl gehört.


Zitat:
Original von gibson
ok danke!
"Es ist ."

oje... wie soll man denn auf sowas je kommen =(

Jeder, der die Grundlagen komplexer Zahlen gehört hat, sollte sich zumindest dieser Wechselbeziehungen zwischen Winkel- und Exponentialfunktionen erinnern!
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

jap genau!
unter "homogenes" verstehe ich das Lambda, dass bei der homogenen Gleichung rauskommt smile

und das kann ich, unabhängig davon ob die Lambda komplex oder reell sind, immer anwenden, wenn ich eine störfunktion der Form hab?

lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Auch wenn der Weg über komplexe Zahlen vielleicht etwas unheimlich erscheint, da man ja eigentlich eine reelle Dgl hat: Er klappt! smile


Man kann das ganze natürlich auch gleich zu einem eigenen Ansatz "bündeln", damit alles reell bleibt:

Lautet das Störglied mit gegebenen reellen Zahlen und Polynom , dann hilft der Ansatz



mit einem Polynom gleichen Grades wie , sowie reellen Zahlen . Entscheidend ist, dass diesmal die Vielfachheit der Wurzel betrachtet werden muss, siehe dein letztes Beispiel.


Aber im Prinzip ist das ein Spezialfall von obigem Ansatz, sofern man dort komplexe Zahlen einbezieht. Augenzwinkern
gibson Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke!

ich hoffe ich hab alles verstanden =)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt schon noch. Augenzwinkern

Abschließend möchte ich aber nochmals betonen: muss bei diesem Ansatz ein Polynom sein.

D.h., für ein Störglied wie dein oben klappt der Ansatz so ohne Änderung nicht, weil dieses Störglied sich nicht durch solch einen "Trick" wie beim Sinus auf die gewünschte Form bringen lässt. unglücklich
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