Normale einer Funktion

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11.10.2007, 19:46	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale einer Funktion Also die folgende Funktion ist gegeben: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{4}x^2(x-3) \end{eqnarray}$ So die Aufgabenstellung lautet wie folgt: In welchen Kurvenpunkten verläuft die Normale von K parallel zur Ursprungsgerade mit m=2,4 Nun weiß ich das meine Normale aufjedenfall die Steigung 2,4x haben wird. Die Ableitung von K lautet: $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$ Nur wie komme ich jetzt zu den Punkten an denen die Normale parallel zu 2,4x ist ? muss ich die 2,4 einfach in die Fomel für Normalen einsetzen und nach x auflösen ?
11.10.2007, 20:59	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fragen an dich: 1.was würdest du machen, wäre die Steigung einer Tangente an k gegeben? 2. Wie verhalten sich Normale und Tangente zueinander?
11.10.2007, 21:05	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1: Die Normale einfach mit umkerhrung der Steigung $\begin{eqnarray} \frac{-1}{f'(x1)} \end{eqnarray}$ bilden zu 2 : Stehen senkrecht zueinander
11.10.2007, 21:14	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Du weißt doch, dass $\begin{eqnarray} m=-\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray}$ Die Formel kannst du doch einfach nach f'(x) umstellen, und so die Steigung des Graphen am Punkt errechnen.
11.10.2007, 21:28	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
also erst mal die tangente Berechnen bzw mit der Ableitung den x Wert suchen an dem die Steigung 2,4 ist. Also: $\begin{eqnarray} 2,4= \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$ und nach x umstellen. Mit dem so erhaltenen x wert könnte ich eine Tangente an den Punkt der Funktin anlegen der die Steigung 2,4 hat, aber da ssit ja nicht das Ziel und wenn ich die steigung der tangente umkehre müsste ich eignetlich die Normale erhalten oder ? Aber die ist dann ja nicht zwangsweise parallel zu 2,4x
11.10.2007, 21:34	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Halt. Du hast die Formel ja gar nicht umgestellt: $\begin{eqnarray} m=-\frac{1}{f'(x)} \Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{m} \end{eqnarray}$ m einsetzen: $\begin{eqnarray} f'(x)=-\frac{1}{2,4} =-\frac{5}{12} \end{eqnarray}$ so, und das kannst du jetzt in die 1.Ableitung einsetzen.
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11.10.2007, 21:43	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, du hast also zuerst die Steigung der Normalen eingesetzt um f'(x) zu erhalten, das sit klar. Was mich hingegen nocht verwirrt ist,dass sich f'(x) von m unterscheidet. Ich meine es ist ja beides die Steigung der Normaloen, deren Steigung ja 2,4 beträgt
11.10.2007, 21:44	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
m ist die Steigung der Normalen. f'(x) ist nicht die Steigung der Normalen, sondern die Steigung des Graphen.
11.10.2007, 21:58	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. Aber wie ist es möglich die Steigung des Graphen K zu berechen obwohl dessen funktion offensichtlich nicht in die Brechnung f'(x) mit eingeflossen ist $\begin{eqnarray} m=-\frac{1}{f'(x)} \Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{m} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=-\frac{1}{2,4} =-\frac{5}{12} \end{eqnarray}$ Da fließt ja nirgends die Funktion des Graphen K mit ein.
11.10.2007, 22:04	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben ja nicht die Steigung für den Graphen k berechnet, sondern, wir suchen die Stelle, an der er diese Steigung hat. Wir haben ja sozusagen nur die Aufgabenstellung etwas umgeformt.
11.10.2007, 22:22	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, stimmt wir haben ja eingetlich nur Umgestellt. Den berechtneten wert -5 /12 setzt ich nun in die 1. Ableitung meiner Funktion ein $\begin{eqnarray} -\frac{5}{12} =\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$ jetzt meine x Werte berechnen und ich hab meine Stellen an denen die Normale(n) paralell sind
11.10.2007, 23:19	zedreipeo	Auf diesen Beitrag antworten »
scheint zu klappen

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