Funktionenfolgen

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10.04.2005, 15:49	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolgen Ich soll folgende Funktionfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen: hn: [0,1]->IR, hn(x) = 1 - (1 - x)^n Wie finde ich raus, dass sie gleichmässig ist? Bitte kurze Erläuternung, wie man jenes Untersuchen soll ,bwz was für Eigenschafften muss sie erfühllen. Danke
10.04.2005, 16:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Welche Kriterien kennst du denn schon oder kennst du nur die Definition? Was hast du dir denn schon überlegt?
10.04.2005, 16:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Tip: Betrachte die Grenzfunktion. Die ist nämlich unstetig. Was folgt daraus?
10.04.2005, 19:14	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sie nicht gleichmäßig ist? Nun ich weiss, dass ich den Grenzwert erst untersuchen muss, um zu sehen, obs punktförmig ist. Aber was er mri dann Aussagt, weiss ich auch nicht:/ Bei gleichmässig weiss nicht, auf was ich schauen muss.
10.04.2005, 20:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn erstmal die Grenzfunktion herausgefunden? Wenn ja, sag sie uns mal! Und dann zur gleichmäßigen Konvergenz: Du musst doch zumindest die Definition der gleichmäßigen Konvergenz kennen, das ist z.B. ein Kriterium. Und die Definition wirst du ja wohl kennen, sonst würdest du den Begriff selbst ja gar nicht kennen.
10.04.2005, 21:55	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist woll 1 Zu den Kriterium: Ich kenne nur eins aus den Buch, nur verstehe ich es nicht: \| fn(x) - f(x) \| < e , für e > 0
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10.04.2005, 22:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie siehts denn aus mit x=0?? Konvergiert dann $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ auch gegen 1? Und dein Kriterium ist nicht ganz richtig, genau heißt es: $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ strebt gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf D, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ einen Index $\begin{eqnarray} n_0\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in D \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt. Versuche mal, das umzusetzen: Nimm dir mal $\begin{eqnarray} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Kannst du dann ein solches $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ finden, sodass obiges gilt?
10.04.2005, 22:40	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wie suche ich so ein n0?
10.04.2005, 22:51	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Liege ich falsch, wenn ich sage, dass es nicht konvergiert und smit nicht gleich und punktförmig ist?
10.04.2005, 23:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktförmig konvergiert es auf jeden Fall! Du hast doch sogar schon die Grenzfunktion herausgefunden: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ für } x=0 \\ 1 & \mbox{ für } 0<x\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Es gilt ja immer $\begin{eqnarray} \|f_n(0)-f(0)\|=0 \end{eqnarray}$ , das ist also sowieso immer kleiner als epsilon. Jetzt betrachtest du die anderen x und jetzt bräuchtest du ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\|<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ . Jetzt setzt du erstmal $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ein, wobei wir x=0 außer Acht lassen! $\begin{eqnarray} \|1-(1-x)^n-1\|<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Und jetzt versuch mal, das nach n umzuformen!
10.04.2005, 23:17	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
hm
10.04.2005, 23:20	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme nicht aus den Betrag raus
10.04.2005, 23:22	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich es richtig sehe, ist das links nicht kleiner als 1/2
10.04.2005, 23:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: Da für 1 ebenfalls gilt, dass $\begin{eqnarray} \|f_n(1)-f(1)\|=0 \end{eqnarray}$ ist, lassen wir auch 1 außer Betracht! Der Betrag ist doch aber hinfällig, es ist doch $\begin{eqnarray} 0<x<1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 0<1-x<1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} 0<(1-x)^n \end{eqnarray}$ . Also wird $\begin{eqnarray} \|(1-x)^n\|=(1-x)^n \end{eqnarray}$ , es bleibt also die Ungleichung $\begin{eqnarray} (1-x)^n<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<x<1 \end{eqnarray}$ . Löse die mal nach n auf!
10.04.2005, 23:35	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
n(1-x) = ln 1/2 n =( ln 1/2) / ( 1-x )
10.04.2005, 23:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst keine Gleichung lösen, sondern eine Ungleichung nach n auflösen! 1. hast du meinen Edit gesehen? 2. musst du auf beiden Seiten logarithmieren 3. musst du dann bei der Ungleichung aufpassen, wenn du dividierst!
10.04.2005, 23:50	Nemsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt schon Nur wo besteht der Unterschied zwischen : fn (x) und f(x)? Ich meine wie sehe die beiden aus?
11.04.2005, 00:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind nicht nur zwei! $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist doch eine Funktionenfolge, also die Folge $\begin{eqnarray} (f_1,f_2,...) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist doch gegeben und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist der Grenzwert der Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ , und zwar punktweise und du sollst herausfinden, ob $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ sogar gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert. $\begin{eqnarray} f_n(x)=1-(1-x)^n\qquad \mbox{für } x\in [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ für } x=0 \\ 1 & \mbox{ für } 0<x\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Zeig mal dein Ergebnis des Umstellens der Ungleichung!

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