Äquivalenz Stetigkeit

13.10.2007, 13:59	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz Stetigkeit 1. Epsilon-Delta-Kriterium: $\begin{eqnarray} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ist (lokal) stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \in D \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \delta > 0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0 \| <\delta \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(x_0)\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ . 2. Folgenkriterium: $\begin{eqnarray} f\colon D\to \mathbb R \end{eqnarray}$ ist (lokal) stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \in D \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \end{eqnarray}$ Wie beweise ich die Äquivalenz?. Also ich wuerde das so machen. $\begin{eqnarray} 1.\rightarrow 2. \end{eqnarray}$ Dies sollte doch folgen ,wenn ich $\begin{eqnarray} \varepsilon,\delta \end{eqnarray}$ als Nullfolgen darstelle. $\begin{eqnarray} 2. \rightarrow1. \end{eqnarray}$ noch kA. ,obwohl es natuerlich klar ist. Nur am Beweis fehlt es noch Grüße
13.10.2007, 14:46	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz Stetigkeit Hallo! $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \end{eqnarray}$ bedeutet doch gerade: $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon >0~ \exists N\in \mathbb N : \|f(x_0)-f(x_n)\|<\varepsilon,\text{ falls }n>N \end{eqnarray}$ Kannst Du das nun geeignet umformulieren? So mit Delta = 1/n usw... Es soll natürlich gelten: $\begin{eqnarray} x_n\to x_0 \end{eqnarray}$
13.10.2007, 15:10	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi genau das hat ich mir auch gedacht. Erstmal die normale Folgenkonvergenz ausnutzen. Das Problem das ich habe ist gerade da Delta sinnvoll einfließen zu lassen. Wenn das gilt $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon >0~ \exists N\in \mathbb N : \|f(x_0)-f(x_n)\|<\varepsilon,\text{ falls }n>N \end{eqnarray}$ fuer x_n ->x_0 dann folgt doch gerade durch die Stetigkeit, dass auch \|x-x_0\|<delta... aber formal ist das noch schwammig
13.10.2007, 15:15	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
2) => 1) kannst du durch einen Widerspruchsbeweis ziemlich einfach zeigen.
15.10.2007, 12:37	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst du das ?
15.10.2007, 15:29	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gelte 2). Angenommen, es gilt nicht 1). Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft: Für jedes (noch so kleine) $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ . Wählt man nun $\begin{eqnarray} \delta_n=\frac1n \end{eqnarray}$ , so gibt das Anlass zu einer Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ . Nach Konstruktion gilt $\begin{eqnarray} x_n\to x_0 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f(x_n)\not\to f(x_0) \end{eqnarray}$ . Widerspruch zu 2).
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