Mengenlehre

13.10.2007, 15:29

MatheKind

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Mengenlehre

Hi,
verstehe die Lösung einer Aufgabenstellung nicht.

Zu lösen ist:
$\begin{eqnarray*} X = [-7, 5), Y = [0, 5] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{X} \cap \overline{Y} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ habe ich raus: $\begin{eqnarray*} [5] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overline{y} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} [-7, -1] \end{eqnarray*}$
Daher kann ich auch keine Schnittmenge erkennen. Deswegen kommt bei mir auch keine Menge raus.

Rauskommen soll aber:
$\begin{eqnarray*} (- \infty, -7) \bigcup (5, \infty) \end{eqnarray*}$

Weiss jemand weiter?!

Liebe Grüße
MatheKind

13.10.2007, 15:37

therisen

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Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ ? Das würde nämlich zur Lösung passen.

13.10.2007, 15:37

tigerbine

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Bitte editieren
$\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\cap[/latex]

13.10.2007, 15:45

MatheKind

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Zitat:

Original von therisen
Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ ? Das würde nämlich zur Lösung passen.

Nein, habe nun die Darstellung im ersten Post korrigiert.

Liebe Grüße
MatheKind

13.10.2007, 15:49

tigerbine

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@ therisen:

$\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} = \overline{X} \cap \overline{Y} \end{eqnarray*}$

oder?

LG,
tigerbine

13.10.2007, 15:52

therisen

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Zitat:

Original von tigerbine
@ therisen:

$\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} = \overline{X} \cap \overline{Y} \end{eqnarray*}$

oder?

Ja, natürlich. Aber MatheKind schrieb, dass "Schnittmenge:= $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ " gelten soll. Das war falsch.

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13.10.2007, 15:55

tigerbine

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Deswegen Formeleditor^^
Ich glaube er meinte das Richtige. Es scheint sich seit neustem die Bezeichnung UU für $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ einzubürgern. Das führt zu nichts Gutem, wie man auch hier wieder gesehen hat.

Ciao,
tigerbine

13.10.2007, 15:56

MatheKind

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Hi therisen,
ich konnte das U nicht umgekehrt darstellen. Tigerbine half mir mit seinem Beitrag.

Könntest du evtl. die Lösung erläutern?!

Liebe Grüße
MatheKind

13.10.2007, 15:59

therisen

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RE: Mengenlehre

Zitat:

Original von MatheKind
Zu lösen ist:
$\begin{eqnarray*} X = [-7, 5), Y = [0, 5] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{X} \cap \overline{Y} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ habe ich raus: $\begin{eqnarray*} [5] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overline{y} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} [-7, -1] \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Es gilt $\begin{eqnarray*} \overline X=(-\infty,-7)\cup[5,\infty) \end{eqnarray*}$ .

13.10.2007, 16:32

MatheKind

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Wieso werden Elemente mit berücksichtigt, die weder in der Menge X, noch in der Menge Y vorkommen?! Ist eine Anspielung auf $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Liebe Grüße
MatheKind

13.10.2007, 16:39

therisen

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Zitat:

Original von MatheKind
Wieso werden Elemente mit berücksichtigt, die weder in der Menge X, noch in der Menge Y vorkommen?!

Das ist doch gerade die Definition von $\begin{eqnarray*} \overline X\cap\overline Y \end{eqnarray*}$ .

13.10.2007, 18:04

MatheKind

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Oh man... Davon stand aber nichts im Mathe-Skript von meinem Studium:
"Die Durchschnittsmenge oder Schnittmenge Z der Mengen X und Y enthält alle Elemente, die zur Menge X und zur Menge Y gehören."

Frage zu deiner Berechnung von $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ :
Wieso schreibst du $\begin{eqnarray*} \cup[5,\infty) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \cup[5,\infty] \end{eqnarray*}$ ?
Bei Unendlich spielt es doch keine Rolle, ob du ) oder ] schreibst, oder?!

Liebe Grüße
MatheKind

13.10.2007, 18:32

Airblader

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Doch, denn $\begin{eqnarray*} \infty \not \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also kann es auch nicht zum Intervall gehören.

air

13.10.2007, 19:28

therisen

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Zitat:

Original von MatheKind
Oh man... Davon stand aber nichts im Mathe-Skript von meinem Studium:
"Die Durchschnittsmenge oder Schnittmenge Z der Mengen X und Y enthält alle Elemente, die zur Menge X und zur Menge Y gehören."

Es handelt sich hier aber nicht um X und Y, sondern um $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline Y \end{eqnarray*}$ . Ersetze also die Ausdrücke in obigem Satz.

14.10.2007, 22:16

MatheKind

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Zitat:

Original von Airblader
Doch, denn $\begin{eqnarray*} \infty \not \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also kann es auch nicht zum Intervall gehören.

air

Das heisst, dass $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch komplexe Zahlen abdecken kann und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ diese nicht berücksichtig?!

Liebe Grüße
MatheKind

14.10.2007, 22:18

therisen

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Nein, das hat damit nichts zu tun. Vielmehr hat es damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} (a,\infty) \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ offen ist.

15.10.2007, 03:01

MatheKind

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RE: Mengenlehre

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von MatheKind
Zu lösen ist:
$\begin{eqnarray*} X = [-7, 5), Y = [0, 5] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{X} \cap \overline{Y} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ habe ich raus: $\begin{eqnarray*} [5] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overline{y} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} [-7, -1] \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Es gilt $\begin{eqnarray*} \overline X=(-\infty,-7)\cup[5,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Hi,
könntest du mir vielleicht in Zwischenschritten zeigen, wie du zu dieser Lösung gekommen bist?

Hast du zuerst $\begin{eqnarray*} X \cap Y \end{eqnarray*}$ ausgerechnet, dann davon jeweils das Komplementär des jeweiligen Elements und dann nochmals die Durchschnittsmenge der Komplementäre ausgerechnet?!

Liebe Grüße
MatheKind

15.10.2007, 10:21

therisen

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Meinst du die Lösung für $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ ? Zeichne dir die Menge einfach mal (rot) auf einem Zahlenstrahl ein. Alles, was nicht rot ist, ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ .

Am einfachsten ist es übrigens die Identität $\begin{eqnarray*} \overline{X}\cap\overline{Y}=\overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ zu verwenden (um auf die Lösung der Aufgabe zu kommen).

15.10.2007, 12:13

MatheKind

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Zitat:

Original von therisen
Meinst du die Lösung für $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ ? Zeichne dir die Menge einfach mal (rot) auf einem Zahlenstrahl ein. Alles, was nicht rot ist, ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ .

Am einfachsten ist es übrigens die Identität $\begin{eqnarray*} \overline{X}\cap\overline{Y}=\overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ zu verwenden (um auf die Lösung der Aufgabe zu kommen).

Hi therison,
gibt es einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{X}\cup \overline{Y} \end{eqnarray*}$ ?

Mir wird der Unterschied nicht ersichtlich (bei WIkipedia gibt es keine richtige Erklärung dazu, sondern schauen für mich eher aus wie Definitionen).

Liebe Grüße
MatheKind

15.10.2007, 15:14

therisen

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Zitat:

Original von MatheKind
gibt es einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{X}\cup \overline{Y} \end{eqnarray*}$ ?

In der Tat. Betrachte mal $\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ als Grundmenge und $\begin{eqnarray*} X=\{1\},\, Y=\{2\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \overline{X\cup Y}=\varnothing \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \overline X\cup\overline Y=\{1,2\}=\Omega \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

15.10.2007, 15:46

MatheKind

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OK, danke!
Deine Antwort, kombiniert mit den Wikipedia-Informationen, hat mich diese Thematik deutlich näher gebracht! smile

smile

THX!!!

Liebe Grüße
MatheKind

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