Determinante ausrechnen

14.10.2007, 16:07

fraggelfragger

Determinante ausrechnen

Guten Tag,

Bin mal wieder bei einem neuen Thema angelangt,
Und zwar habe ich eine Frage bezüglich Determinanten berechnen.

Mir sind bereits folgende Verfahren bekannt:
- Sarrus sche Regel
- Gaußsches Eliminierungsverfahren
- Cramersche Regel

Mir ist aufgefallen das ich sehr lange brauche um eine Determinante 5x5 zu berechnen.
Beim Umformen der Determinanten tu ich mir relativ schwer.
Gibt es da irgendwelche Tricks? also z.b sowas wie schauen ob 2 Zeilen oder Spalten die selbe zahl besitzen übereinander sodass sich 2 nullen ergeben.
Spalten oder Zeilen vertauschen tu ich sehr selten um nicht zu sagen nie.
Ich schaue immer das ich keine Brüche bekomme, denn diese sind sehr unschön zu rechnen.

Hoffe das ihr mir ein paar Tipps geben könnt, fals ihr ein Beispiel braucht um dies zu verdeutlichen:

Bsp:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 & -4 & 4 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -5 & 4 & 1\\ 1 & 0 & 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

mfg fraggelfragger

14.10.2007, 16:10

therisen

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Forme die Matrix mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens so um, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.

14.10.2007, 16:11

tigerbine

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weiteres Verfahren
Laplace-Entwicklung Wink

14.10.2007, 17:14

fraggelfragger

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Zitat:

Original von therisen
Forme die Matrix mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens so um, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.

Und wie macht man das am geschicktesten ? worauf muss ich bei einzelnen spalten/ Zeilen achten damit ich so schnellst wie möglich ans ziel komme?

@ Tigerbine
meintest du so? also quasi ohne umzuformen gleich entwickeln?
oder wie?

$\begin{eqnarray*} det(A) = \begin{vmatrix} -5 & -4 & 4 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -5 & 4 & 1\\ 1 & 0 & 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Entwicklung nach der 5 Zeile:

$\begin{eqnarray*} det(A) = \begin{vmatrix} -4 & 4 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 2 & -5 & 4 & 1 \end{vmatrix}+3 \begin{vmatrix} -5 & -4 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 1\end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} -5 & -4 & 4 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & 2 \\ -4 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & -5 & 1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

jeweils Entwicklung nach 3 Zeile:

$\begin{eqnarray*} det(A) = -2 \begin{vmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} -4 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -5 & 4 \end{vmatrix}+3[ -4 \begin{vmatrix} -4 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1\end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -5 & -4 & 3 \\ -1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} -5 & -4 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{vmatrix} ]+5 [ -1 \begin{vmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -5 & 1\end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} -5 & -4 & 4 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix}] \end{eqnarray*}$

Anwenden von Sarrus:

det(A) = 99

14.10.2007, 17:28

tigerbine

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Ich bezog mich auf deine Auflistung "diese Verfahren kenne ich". Da sollte LPE eben nicht fehlen. det(A)=99 ist hier richtig. Freude

Wenn du den Tipp von therisen beherzigst, solltest Du wissen, wie man die Determinante einer Dreiecksmatrix bestimmt.

Wink

14.10.2007, 17:31

fraggelfragger

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Achso

ja das glaube ich zu wissen:

Dreiecksdeterminante:
det(A) = a_11 * a_22 * a_33* a_nm

doch wie ich am einfachsten auf diese Dreiecksdeterminante komme weis ich leider nicht,gibt es da eine gewisse Vorgehensweise?

14.10.2007, 17:34

tigerbine

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Eine Strategie die für alle Matrizen "am einfachsten" gibt es imho nicht. Aber warum nicht Gauss nehmen?

Edit: richtig. Das Produkt der Diagonaleinträge.

14.10.2007, 18:44

fraggelfragger

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Zitat:

Original von tigerbine
Aber warum nicht Gauss nehmen?

Kriege da leider immer so oft Brüche rein, deswegen benutzt ich das sehr ungern.

14.10.2007, 19:28

tigerbine

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