Schnitt eines Kegels mit einer Ebene

10.04.2005, 17:29

kospe

Schnitt eines Kegels mit einer Ebene

Hi,
ich hab einen Kegel: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-z^2=0 \end{eqnarray*}$ und
eine Ebene gegeben: $\begin{eqnarray*} x+y+3z=6 \end{eqnarray*}$
Und nun soll ich den Schnitt der beiden beschreiben. Das müsste was Ellipsenartiges werden.
Hat jemand einen Tip für mich, wie ich da am besten Vorgehen kann? Meine bisherigen Versuche führten irgendwie alle ins nichts...

11.04.2005, 10:39

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnitt eines Kegels mit einer Ebene
Forme z.B. die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ um und setze dann in die erste ein. Dann erhälst du die Gleichung einer Ellipse, da aber die Brennpunkte nicht auf der x-Achse liegen und auch die Hauptachsen nicht parallel zu den beiden Achsen des Koordinatensystems liegen, mag die Form etwas seltsam aussehen.

11.04.2005, 12:08

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnitt eines Kegels mit einer Ebene
vermutlich sollst du ja zeigen, um welchen kegelschnitt es sich handelt.
wenn man z.b. für z einsetzt, erhält man
$\begin{eqnarray*} 4x^{2}+4y^{2}+6x+6y-xy=18 \end{eqnarray*}$
mit der transformation
$\begin{eqnarray*} x=ucos\alpha -vsin\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=usin\alpha +vcos\alpha \end{eqnarray*}$
und der allg. kegelschnittgleichung
$\begin{eqnarray*} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan 2\alpha =\frac{B}{A-C} \end{eqnarray*}$
beseitigt man das xy-glied:
$\begin{eqnarray*} 9u^{2}+7v^{2}+12\sqrt{2} v=36 \end{eqnarray*}$
wieder mit der allg. gleichung (ohne gemischtes glied)
$\begin{eqnarray*} Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \end{eqnarray*}$
ergibt sich
Kreis: A<> 0, B = A
Parabel: (A =0 und B <> 0) oder (A <> 0 und B =0)
Ellipse: AB > 0
Hyperbel: AB < 0
und wenns besonders schön sein soll, führt man noch die trafo
$\begin{eqnarray*} \sqrt{7} v+\frac{6 \sqrt{14}}{7}=w \end{eqnarray*}$
durch und erhält dann die ellipse in hauptachsenlage
$\begin{eqnarray*} \frac{7u^{2}}{36}+ \frac{49w^{2}}{36 \cdot 9}=1 \end{eqnarray*}$

und das alles, wenn ich mich nicht verrechnet habe
w

11.04.2005, 13:31

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Werner

Wenn man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus der Ebenengleichung in die Kegelgleichung einsetzt, erhält man ja nicht die Ellipsengleichung, sondern lediglich eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , die für alle Punkte der Schnittmenge von Kegel und Ebene gelten muß. Es ist sozusagen die Gleichung des in die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene projizierten Kegelschnitts, keineswegs die Gleichung des Kegelschnittes selbst.
Ich habe das einmal dreidimensional durchgerechnet, komme dann allerdings auf dieselben Halbachsen wie du, was mich an meinen eingangs gemachten Äußerungen wieder zweifeln läßt. Wie paßt das alles zusammen?

Hier meine Überlegungen.

Ich führe auf der Ebene ein neues zweidimensionales Koordinatensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ ein. Sein Mittelpunkt sei der Punkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit dem Ortsvektor

$\begin{eqnarray*} \vec{m} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{7} \\ -\frac{6}{7} \\ \frac{18}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Einheitsvektoren nehme ich

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man bestätigt durch Einsetzen, daß $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in der Ebene liegt. Und bildet man das Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u},\vec{v} \end{eqnarray*}$ mit dem Normalenvektor der Ebene, so erkennt man, daß diese beiden Vektoren Richtungsvektoren der Ebene sind. Daß sie orthogonal und normiert sind, ist ebenfalls leicht nachzurechnen.

Der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ eines beliebigen Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Ebene kann als

$\begin{eqnarray*} \vec{p} = \vec{m} + \sigma \vec{u} + \tau \vec{v} \end{eqnarray*}$

geschrieben werden. $\begin{eqnarray*} \sigma,\tau \end{eqnarray*}$ sind die zweidimensionalen kartesischen Koordinaten bezüglich des oben beschriebenen Koordinatensystems $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ auf der Ebene.

Nun setzt man die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ -Koordinaten von $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in die Kegelgleichung ein. Nach längerer Rechnung findet man

$\begin{eqnarray*} \frac{\sigma^2}{\frac{396}{49}} + \frac{\tau^2}{\frac{36}{7}} = 1 \end{eqnarray*}$

Das ist die Gleichung einer Ellipse. Ihr Mittelpunkt ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Ihre Symmetrieachsen sind durch die Richtungen von $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ bestimmt. In der ersten Richtung hat die Ellipse die Halbachse $\begin{eqnarray*} a = \frac{6}{7} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ , in der zweiten Richtung die Halbachse $\begin{eqnarray*} b = \frac{6}{7} \sqrt{11} \end{eqnarray*}$ .

EDIT
Gerade sehe ich, daß ich doch nicht dieselben Halbachsen wie Werner habe: $\begin{eqnarray*} 9 \cdot 36 = 324 \neq 396 \end{eqnarray*}$

11.04.2005, 13:55

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold
wegen der seitenhaslbierenden und mittelsenkrechten muß ich noch deinen "diskurs" mit kiki suchen, wage keine eigene ansicht.

Kegelschnitt: ich habe das einmal vor ca. 15 jahren gemacht, meine tochter hat kegelschnitte als maturagegenstand in mathe gehabt.
daher bitte meine ausführung nicht cum grano salis bewerten:
ich denke, dass meine beziehung eben die gleichung des kegelschnittes IN der ebene x + y + 3z = 6 ist, und nun mache ich im prinzip dasselbe wie du, nur in anderer reihenfolge, ich drehe erst jetzt das koordinatensystem so, dass die ellipse in die hauptlage kommt.
kann das stimmen?
werner

natürlich finde ich deine lösung überzeugender - wie immer, z.b draht über dach usw. - ich muß sie mir aber erst genauer einverleiben

n.s.: die achse a ist verschieden

11.04.2005, 14:11

kospe

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmh... Vielen Dank an euch! Ich muss mir das alles erstmal genau angucken aber ich denke, dass mir das weiterhelfen wird, wenn nich, frag ich nochma...

11.04.2005, 14:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es nicht um die Details des Kegelschnittes geht, sondern nur darum, was für ein Kegelschnitt vorliegt, kann man es sich natürlich etwas einfacher machen.

Ein Kegelschnitt, der nicht durch die Kegelspitze geht (was hier offensichtlich ist), ist
- eine Ellipse, wenn die Ebene zu keiner,
- eine Parabel, wenn die Ebene zu genau einer,
- eine Hyperbel, wenn die Ebene zu zwei Mantelgeraden
parallel ist.

Jetzt hat der Kegel einen rechten Winkel als Öffnungswinkel (man schneide den Kegel mit der $\begin{eqnarray*} xz \end{eqnarray*}$ -Ebene; die Punkte $\begin{eqnarray*} (\pm 1,0,1) \end{eqnarray*}$ erfüllen z.B. die Kegelgleichung). Daher ist der Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtungsvektor einer Mantelgeraden. Jetzt kann man diesen Vektor noch um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse drehen und erhält so alle möglichen Richtungsvektoren von Mantelgeraden der Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ t \\ 1 \end{pmatrix} \ \text{mit} \ s^2+t^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Insbesondere folgt: $\begin{eqnarray*} -1 \leq s,t \leq 1 \end{eqnarray*}$

Bildet man nun das Skalarprodukt eines solchen Richtungsvektors mit dem Normalenvektor der Ebene, so kann dies offenbar niemals 0 werden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ t \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = s+t+3 > 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Ebene zu keiner Mantelgeraden parallel, der Kegelschnitt also eine Ellipse.

11.04.2005, 16:39

kospe

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es auch reichen, wenn ich die Gleichung der Geraden aufstelle, die durch die Kegelspitze geht und auf der alle zu ihr senkrechten Ebenen einen Kreis als Schnitt mit dem Kegel haben (in diesem Fall müsste diese Gerade die z-Achse sein, wenn ich keinen Denkfehler habe) und dann den Winkel zwischen dieser Gerade und der Ebene bestimme.

Ist der Winkel zwischen 0 und 90 Grad müsste der Schnitt ja ne Ellipse sein oder? Geht das so?

11.04.2005, 18:02

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke, das stimmt, da die spitze nicht auf e liegt, und der winkel W(z;E) = 25,24 < 45° (halber öffnungswinkel)
wenn ich mich recht erinnere,

ansonsten halte dich an leopold, das stimmt (immer)!
werner

11.04.2005, 18:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
@ Werner

Wenn man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus der Ebenengleichung in die Kegelgleichung einsetzt, erhält man ja nicht die Ellipsengleichung, sondern lediglich eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , die für alle Punkte der Schnittmenge von Kegel und Ebene gelten muß. Es ist sozusagen die Gleichung des in die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene projizierten Kegelschnitts, keineswegs die Gleichung des Kegelschnittes selbst.

@leopold,
ich glaube/ hoffe, ich habe jetzt verstanden, was du sagst.
das heißt aber, dass man aus dieser "meiner analyse" nicht wirklich eine aussage bez. der art des kegelschnittes machen kann. oder liege ich da (schon wieder)falsch? bin eh schon ganz deprimiert.
und zum mittelpunkt: stimmt das so:
3a + 3a + 2b = 0 und 2a + 3b = 6 => a = -6/7
werner
ich trau meinen überlegungen nicht mehr so recht,
aber ganz so schlimm dürfte es dann doch nicht sein: es scheint sich wirklich um die projektion auf die xy-ebene zu handeln
$\begin{eqnarray*} cos(z;E)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = .90\Rightarrow 396{cos}^2\alpha =324 \end{eqnarray*}$
und da das koosystem um -45° gedreht wurde, stimmt die größe der 2 achse

Neue Frage »

Antworten »

Schnitt eines Kegels mit einer Ebene

Verwandte Themen