hesse Matrix

14.10.2007, 16:50

Kira 007

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hesse Matrix

Hallo zusmmane, bräuchte drigend Eure hilfe für folgende Aufgabe

Ich möchte von folgender multivariaten Funktion die Hesse Matrix berechnen

$\begin{eqnarray*} z=x^3+x^4+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_x=3x^2+4x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_y=2y \end{eqnarray*}$

nun muss ich doch daraus die notwendige Bedingung bestimmen. Mein problem liegt nun darin da ich nicht weiß wie ich diese beiden funktion gleichsetzten soll

14.10.2007, 16:54

mercany

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Musst du nicht einfach noch die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray*} z_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_y \end{eqnarray*}$ bilden ?

14.10.2007, 16:59

Kira 007

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nein die brauche ich doch hinterher für die Hinreichende Bedingung

für die Notwendige Bedingung muss $\begin{eqnarray*} f'_x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'_y=0 \end{eqnarray*}$ sein

laut meinem Script sind die notwendigen Bedingungen
$\begin{eqnarray*} (0/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{4}/0) \end{eqnarray*}$

14.10.2007, 17:18

mercany

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Vielleicht hab ich jetzt was falsch im Kopf. Hast du ein Ergebnis im Script ?

\\edit: Setze $\begin{eqnarray*} f'(x,y) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.10.2007, 17:20

Kira 007

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Ja habe ich, das sind die Punte für die Notwendige Bedingung
laut meinem Script sind die notwendigen Bedingungen
$\begin{eqnarray*} (0/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{4}/0) \end{eqnarray*}$ [/quote]

14.10.2007, 17:27

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} 2y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2+4x^3=0 \end{eqnarray*}$ und dann ausrechnen ?

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14.10.2007, 17:31

mercany

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Ja. Anschließend bildest du die Hesse-Matrix für hinreichende Bedingung.

14.10.2007, 17:44

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} 2y=0 \end{eqnarray*}$ kann ich die überhaupt noch weiter ausrechen den der Punkt müsste doch (0/0) oder

$\begin{eqnarray*} 3x^2+4x^3=0:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}x^2+x^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(\frac{3}{4}x+x^2)0/:x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{3}{4}x=0 \end{eqnarray*}$

x1=0 x2 $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

die Hesse- matrix sollte mir dann wieder klar sein!!!

14.10.2007, 17:49

mercany

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$\begin{eqnarray*} 2y = 0 \Leftrightarrow y = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist korrekt.

$\begin{eqnarray*} 3x^2 + 4x^3 = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4}x^2+x^3=0 \Leftrightarrow x^2(\frac{3}{4} + x) =0 \end{eqnarray*}$

Du hast also eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = 0 \end{eqnarray*}$ - die hast du bei dir unterschlagen.

Deine kritischen Stellen lauten also ?

14.10.2007, 17:53

Kira 007

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alles klar mercany, vielen Dank für deine Hilfe Freude

Freude

meine kritischen stellen lauten

(0;0) und $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4};0 \end{eqnarray*}$

ob es sich um extrem Pun kte Sattelpunkte handelt berechne ich gerade

14.10.2007, 17:56

mercany

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Gut.

Zur Überprüfung, die Hesse-Matrix hat die Form $\begin{eqnarray*} H_{f} = \begin{pmatrix} z'_x(x) & z'_y(x) \\ z'_x(y) & z'_y(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.10.2007, 18:26

Kira 007

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so hier ist noch meine Komplette Lösung

für den Punkt (0;0) lautet die Hesse-Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ 0 & 2 & \\ \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ indifferente Situation

und für den Punkt $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4};0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2,25 & 0 & \\ 0 & 2 & \\ \end{vmatrix}=4,5 \end{eqnarray*}$
>0 an der stelle 4,5 liegt demnach ein Minimum

14.10.2007, 18:39

mercany

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Beide Lösungen sind korrekt.

14.10.2007, 19:15

Kira 007

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Hallo, ich habe noch eine andere Frage bezüglich dieser Aufgabe

$\begin{eqnarray*} z=x^2+y^3-2xy+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'_x=2x-2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'_y=3y^2-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_xx=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_yy=6y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_xy=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_yx=-2 \end{eqnarray*}$

für die Notwendige bedingung erhalte ich

$\begin{eqnarray*} 3y^2-2y=0 \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich jetzt aber die beiden y Werte, ich benötige ja insgesamt zwei werte Paare

14.10.2007, 20:54

mercany

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Aus $\begin{eqnarray*} z'_x=2x-2y \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

Berechne daher $\begin{eqnarray*} 3x^2 - 2x = 0 \end{eqnarray*}$

Du erhälst daher zwei mal die gleiche Lösung.

Gruß, mercany

14.10.2007, 23:24

Kira 007

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Dank mercany, hatte die aufgabe auch schon gelöst

14.10.2007, 23:36

Kira 007

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ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter

$\begin{eqnarray*} z=x^3+3x^2y-3xy^2-21x+y^3-3y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'_x=3x^2+6xy-3y^2-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_xx=6x+6y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_xy=6x-6y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'_y=3x^2-6xy-3y^2-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_yy=-6x+6y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z''_yx=6x-6y \end{eqnarray*}$

als Notwendige Bedingung erhalte ich

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2+6xy-3y^2-21 \end{eqnarray*}$ +
$\begin{eqnarray*} 0=3x^2-6xy+3y^2-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=6x^2-24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24=6x^2 \end{eqnarray*}$
x1=2
x2=-2

wie berechne ich nun die anderen Werte. ich habe zu der Aufgabe zwar eine lösung aber irgendwie kann da was nicht stimmen am ende soll ich die Wertepaare
(2;3) (-2;-3) (2;1) und (-2;-1) erhalten

15.10.2007, 18:07

mercany

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} z'_y=3x^2-6xy-3y^2-21 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} z_{xy}'(y) = 3y^2 -6xy +3x^2 -3 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

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