Integration durch Substitution

15.10.2007, 21:57

Hansiwansi

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Integration durch Substitution

Hallo,
wir haben heute mit der Integration durch Substitution angefangen, aber ich habe das nicht ganz kapiert.Mir ist klar, dass man eine Funktion in der Form f(x)=V'(x)*U(V(x)) substituieren kann.Ich habe folgende Aufgabe als Hausaufgabe auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x²e^x ~dx \end{eqnarray*}$

Hier sollen wir nun unser Können anwenden.Ich verstehe einfach nicht, was man genau als v(x) und u'(v(x)) und so wählt.Wäre nett,wenn mir einer helfen könnte.
Wenigstens die Substitution würde mir schon erstmal reichen.
Danke schonmal im vorraus.

Hansiwansi

15.10.2007, 21:58

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\int_a^b~f(x)~dx[/latex]

15.10.2007, 22:28

kiste

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Bist du dir sicher das ihr Substitution anwenden müsst? Ich sehe hier keine Substitution, vielmehr sollte man 2mal partiell integrieren

15.10.2007, 22:29

hxh

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Kann mich kiste nur anschließen, hier sollte man partielle Integration anwenden.

16.10.2007, 09:41

Hansiwansi

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hmm unser lehrer hat uns die aufgabe aufgegeben also bezogen auf die substitution.dann nehme ich mal eine andere aufgabe als beispiel um das erstmal zu üben:

x²*e^(x³+1)

ich habe die grenzen noch nicht hingeschrieben,weil ich erstmal die substitution üben will.also nun zu meiner frage.die funktion entspricht ja der form v'(x)*u'(v(x)),aber wie muss ich jetzt genau vorgehen bzw. was muss ich als v(x) nehmen?x³+1?

16.10.2007, 09:44

kiste

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Ja.
wähle v(x) = x^3 + 1.

Beachte das der Vorfaktor noch nicht stimmt, das also noch nicht ganz die Ableitung von v davor steht. Versuche dies hinzubekommen.

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16.10.2007, 09:53

Hansiwansi

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wenn ich x² mit 3 multipliziere würde es passen oder?

16.10.2007, 10:18

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Hansiwansi
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x²e^x ~dx \end{eqnarray*}$

Also ist nicht das deine Aufgabe, sondern das:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$ Warum nicht gleich? verwirrt

verwirrt

Im Prinzip hast du die richtige Idee. Wenn du das umformst auf $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \cdot \int_{0}^{2}~3x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$ , funktioniert die Substitution tadellos.

16.10.2007, 10:23

Hansiwansi

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ja also mit der zweiten aufgabe wollte ich erstmal die substitution richtig üben deswegen habe ich die gewählt.nun weiß ich nicht wie ich vorgehen muss wenn ich das umgeformt habe.also ich brauche ja u'(v(x) und da komme ich grad nicht weiter.

16.10.2007, 10:39

klarsoweit

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Vielleicht schaust du dir erstmal die Substitutionsregel an:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f'(x) \cdot g(f(x))~dx = \int_{f(a)}^{f(b)}~g(u)~du \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du die Funktionen f und g lokalisieren.

EDIT: Fehler bei den Integralgrenzen verbessert.

16.10.2007, 10:54

Hansiwansi

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f(g(x)) müsste e^(x+3) sein denke ich mal aber ich bin mir nicht sicher

16.10.2007, 10:57

klarsoweit

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Wie kommst du denn jetzt auf $\begin{eqnarray*} e^{x+3} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Ich habe doch schon alles mundgerecht hingeschrieben. Brauchst doch nur noch abzulesen.

EDIT: außerdem steht in der Regel etwas von g(f(x)), nichts von f(g(x)).

16.10.2007, 10:59

Hansiwansi

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \cdot \int_{0}^{2}~x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$ ,also nach der formel wäre das hier richtig oder?

16.10.2007, 11:09

klarsoweit

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Nein. Nochmal von vorn. Wir hatten dieses Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$

Das haben wir umgeformt auf:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \cdot \int_{0}^{2}~3x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$

Und das solltest du mit der linken Seite der Substitutionsregel vergleichen.

16.10.2007, 11:15

Hansiwansi

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hmm ja das f'(x) stimmt ja weil wir die ableitung von x³+1 gebildet haben aber mit dem g(f(x)) komme ich nicht klar verwirrt

verwirrt

16.10.2007, 11:23

klarsoweit

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Was wäre denn jetzt f(x) ?

16.10.2007, 11:28

Hansiwansi

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1/3 x²*e^(x³+1) ?

16.10.2007, 11:40

klarsoweit

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Nein. Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} 3x^2 \cdot e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$ heißen und zweitens ist das f'(x) * g(f(x)). Was ist denn f'(x) ?

16.10.2007, 11:43

Hansiwansi

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f'(x) ist 3x²

16.10.2007, 11:48

klarsoweit

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Hurra! Was könnte denn jetzt f(x) sein? Es muß ja nun so aussehen, daß die Ableitung davon 3x² ergibt.

16.10.2007, 11:53

Hansiwansi

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^^ja die aufleitung ist x³

16.10.2007, 12:07

klarsoweit

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Nun ja. Das Wort "Aufleitung" gibt es nicht. Und "aufführen" ist ja auch nicht das Gegenteil von "abführen". Stammfunktion wäre der korrekte Begriff. F(x)=x³ wäre eine, aber nicht die Stammfunktion. Bekanntlich hat eine Funktion (wenn überhaupt) beliebig viele Stammfunktionen. F(x)=x³ paßt natürlich nicht so gut zum Exponenten von $\begin{eqnarray*} e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$ . Entweder mußt du das auch noch umformen zu $\begin{eqnarray*} e^{x^3+1} = e \cdot e^{x^3} \end{eqnarray*}$ , oder du suchst dir eine andere geeignete Stammfunktion F. Du brauchst dann noch eine Funktion g, so daß dann $\begin{eqnarray*} g(f(x))=e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$ ist.

16.10.2007, 12:35

Hansiwansi

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eine geeignete stammfunktion wäre dann x³+1,das endergebnis müsste dann so aussehen oder 3x²*e^(x³+1).irgendwie bin ich grad bisschen durcheinander

16.10.2007, 12:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hansiwansi
eine geeignete stammfunktion wäre dann x³+1

Da ist ok.

Zitat:

Original von Hansiwansi
das endergebnis müsste dann so aussehen oder 3x²*e^(x³+1).

Nein, das ist immer noch das, was integriert werden soll.
Nachdem wir f(x)=x³+1 gesetzt haben, brauchen wir jetzt noch die Funktion g(x).

16.10.2007, 12:45

Hansiwansi

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x³*e^(x³+1) wäre es dann integriert oder?

16.10.2007, 12:55

klarsoweit

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Nein, du bist einen Schritt zu schnell. Wir brauchen immer noch eine Funktion g(x), so daß $\begin{eqnarray*} g(f(x))=e^{x³+1} \end{eqnarray*}$ ist.

16.10.2007, 12:57

Hansiwansi

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hmmm ich kann mir im moment nur e^(x³+1) vorstellen verwirrt

verwirrt

16.10.2007, 13:07

klarsoweit

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Nöö. Wenn $\begin{eqnarray*} g(x) = e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = e^{(f(x))^3+1} = e^{(x^3+1)^3+1} \end{eqnarray*}$ .

Also das ist es nicht. Vielleicht siehst du es nicht, weil die Antwort zu offensichtlich ist.

16.10.2007, 13:18

Hansiwansi

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ich hab irgendwie grad völlig durcheinander^^ ich weiß grad nicht wie ich g(x) bestimmen soll geschockt

geschockt

16.10.2007, 13:20

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ . Simpel, nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.10.2007, 13:36

Hansiwansi

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stimmt^^ damit komm ich ja auf e^(x³+1)

ok gut nun verstehe ich den zusammenhang

danke schon! Freude

Freude

16.10.2007, 14:04

Musti

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Wo bleibt denn da die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ die klarsoweit dir vor dem Integral hingeschrieben hat?
Leite deine Funktion doch mal ab und guck nach ob du auf die Funktion kommst.

16.10.2007, 18:10

Hansiwansi

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \cdot \int_{0}^{2}~3x^2 \cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$ kann mir einer sagen wie es hier weitergeht? verwirrt

verwirrt

16.10.2007, 18:28

derkoch

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Substituiere:

$\begin{eqnarray*} u= x^3+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{du}{dx}= ... \end{eqnarray*}$

16.10.2007, 18:37

Hansiwansi

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aber das hab ich doch so substituiert verwirrt

verwirrt

16.10.2007, 18:43

Musti

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Dann integriere $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int_{}^{}~e^u~du \end{eqnarray*}$

16.10.2007, 19:09

Hansiwansi

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die grenzen muss ich doch dann als u(0) und u(2) verwenden oder?

16.10.2007, 21:46

Musti

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Genau

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