Cauchy Folge

16.10.2007, 03:33

Kal Berdok

Cauchy Folge

Hallo,
mir will die erste Zeile eines Beweises gerade nicht einleuchten:

Sei $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge. (f_k -> IR^n -> R Lebesgue-intbar, aber denke das ist hier nebensächlich für die nächste Folgerung)

=> $\begin{eqnarray*} \exists k_1 < k_2 < k_3 < \end{eqnarray*}$ ... mit $\begin{eqnarray*} || f_k - f_{k_j} ||_1 \leq 2^{-j} \forall k_j \geq k \end{eqnarray*}$
Wie kommt man darauf?

f_k Cauchy Folge <=> $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 ,\exists N: \forall k,m \geq N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||f_k-f_m|| < \epsilon \end{eqnarray*}$

MFG
KB

16.10.2007, 09:04

kiste

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Hallo,

hier wurde $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 2^{-j} \end{eqnarray*}$ gesetzt. Für eine entsprechend groß gewählte Teilfolge $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ ist dann obiges erfüllt da es sogar für alle $\begin{eqnarray*} k > N(2^{-j}) = N(\varepsilon ) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist

16.10.2007, 09:12

klarsoweit

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RE: Cauchy Folge

Zitat:

Original von Kal Berdok
=> $\begin{eqnarray*} \exists k_1 < k_2 < k_3 < \end{eqnarray*}$ ... mit $\begin{eqnarray*} || f_k - f_{k_j} ||_1 \leq 2^{-j} \forall k_j \geq k \end{eqnarray*}$
Wie kommt man darauf?

Hmm. Irgendwie suggeriert das, daß k ein fester nicht von j abhängiger Wert ist. Dann müßten sich aber die $\begin{eqnarray*} f_{k_j} \end{eqnarray*}$ von f_k wegbewegen, es sei denn, sie konvergieren gegen f_k.

16.10.2007, 10:55

WebFritzi

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RE: Cauchy Folge

Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. Irgendwie suggeriert das, daß k ein fester nicht von j abhängiger Wert ist. Dann müßten sich aber die $\begin{eqnarray*} f_{k_j} \end{eqnarray*}$ von f_k wegbewegen, es sei denn, sie konvergieren gegen f_k.

Ja, es ist auch mit Sicherheit folgendes gemeint:

$\begin{eqnarray*} \exists k_1 < k_2 < k_3 < \end{eqnarray*}$ ... mit $\begin{eqnarray*} || f_k - f_{k_j} ||_1 \leq 2^{-j} \;\forall k \geq k_j. \end{eqnarray*}$

Ich würde übrigens mal darauf tippen, dass es sich hier um einen Schritt aus dem Beweis des Satzes von Riesz-Fischer handelt. Augenzwinkern

P.S.: Wird hier das Auswahlaxiom benutzt? Augenzwinkern

16.10.2007, 23:23

Kal Berdok

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Oh, da hatte sich der Fehlerteufel bei mir eingeschlichen, in der Tat sollte es so heißen wie WebFritzi es dann richtig hingeschrieben hat.

Soll das dann so gemeint sein?
es gibt (aufgrund der Cauchy-Folge) ein $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ so dass für $\begin{eqnarray*} k,m \geq k_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} || f_n - f_m || < 1/2 \end{eqnarray*}$
(Wähle $\begin{eqnarray*} m = k_1 \end{eqnarray*}$ )=> $\begin{eqnarray*} || f_k - f_{k_1} || < 1/2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \geq k_1 \end{eqnarray*}$
Genauso:
es gibt (aufgrund der Cauchy-Folge) ein $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ so dass für $\begin{eqnarray*} k,m \geq k_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} || f_n - f_m || < 1/4 \end{eqnarray*}$
(Wähle $\begin{eqnarray*} m = k_2 \end{eqnarray*}$ )=> $\begin{eqnarray*} || f_k - f_{k_2} || < 1/4 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \geq k_2 \end{eqnarray*}$
...

Aber jedesmal ist das k dann anders, abhängig vom k_v, hab ich das so richtig verstanden? Hoffe ich mal.... geschockt

MFG
KB

16.10.2007, 23:25

Kal Berdok

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n = k , bei allen auftauchenden n´s....

17.10.2007, 09:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kal Berdok
Aber jedesmal ist das k dann anders, abhängig vom k_v, hab ich das so richtig verstanden? Hoffe ich mal.... geschockt

Ja.

Zitat:

Original von Kal Berdok
n = k , bei allen auftauchenden n´s....

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17.10.2007, 17:53

Kal Berdok

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Hi, ok soweit habe ich alles verstanden. Besten Dank!
Werde mich hier bald mal registrieren.

Habe noch eine kleine Frage:
$\begin{eqnarray*} L_1(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ ist Banachraum (bzw. beim Satz von Riesz Fischer)

Wieso zeigt man dazu dann $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} ||f-f_j||_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f_j -> f \end{eqnarray*}$ fast überall?

(eigentlich gilt ja in norm. VR: $\begin{eqnarray*} lim ||x_n-x|| = 0 <=> lim x_n = x \end{eqnarray*}$ )

lim x_n = x)
Da $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ nur eine Halbnom ist (auf IR^n), folgt bei
$\begin{eqnarray*} ||g||_1 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht das g = 0 ist, sondern das g = 0 fast überall ist (also auf einer Nullmenge nimmt g andere Werte als 0 an). Aber dadurch das man f,g (beide L-int.) als gleich indentifiziert, wenn f = g fast überall ist, erreicht man das $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ Norm ist.
Also müsste doch $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} ||f-f_j||_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f_j -> f \end{eqnarray*}$

Bei Riesz-Fischer kam dann auch unter anderem das raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} (f_{j_k}) = f \end{eqnarray*}$ , d.h. das besagte gilt nur für eine Teilfolge, aber scheint nicht allgemein zu funktionieren, wie ich das meinte.
Wieso gilt das nicht allgemein?

MFG
KB

18.10.2007, 09:14

WebFritzi

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Ich finde, du redest wirr. Bitte präzisiere deine frage.

18.10.2007, 14:42

Kal Berdok

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Gilt in $\begin{eqnarray*} L_1(IR^n) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty } ||f-f_j|| = 0 <=> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} f_j = f ? \end{eqnarray*}$
Warum oder warum nicht? (um ja, nein antworten aus dem Weg zu gehen)

MFG
KB

19.10.2007, 00:44

WebFritzi

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Das ist wieder nicht präzise. Was meinst du mit den beiden Konvergenzen? soll das erste L1-Konvergenz und das zweite punktweise Konvergenz bedeuten?

19.10.2007, 03:24

Kal Berdok

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Hi, ob das erste L1-Konvergenz heißen soll weiss ich nicht (haben diesen Begriff nicht definiert). $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ soll das inf. des Inhaltes aller Hüllreihen von $\begin{eqnarray*} f(x)-f_j(x) \end{eqnarray*}$ sein. Dieses soll gegen 0 konvergieren.
Das 2. soll die punktweise Konvergenz sein.

MFG
KB

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