Eine komplexaufgabe zur Analysis.

17.10.2007, 13:05

mathe760

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Eine komplexaufgabe zur Analysis.

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:

Eine Funktion f ist gegeben durch f(x)=(4x+5)/(x^2-1) mit x nicht gleich +-1.

Ihr Schaubild sei K

3. P(u|v) mit u>1 sei ein Punkt auf K

P und Q: (1|0) sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem Inhalt A(u). Bestimmen sie A(u) sowie

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} A(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 1} A(u) \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie, ob der der Flächeninhalt des Rechtecks ein Extremum annimmt.

Da hab leider gar keine Idee, was meinen die mit achsenparallel??
Habt ihr vielleicht einen Ansatz??

In Laufe der nächsten Tage werde ich dann auch die anderen Teilaufgaben Posten, mit meinen Lösungs vorschlägen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

17.10.2007, 13:12

Bjoern1982

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Zitat:

Da hab leider gar keine Idee, was meinen die mit achsenparallel??

Du musst ein Rechteck aus diesen beiden Punkten ergänzen, und zwar so dass alle Seiten dann parallel zu den Koordinatenachsen sind.

18.10.2007, 16:42

mathe760

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Danke, dass hab ich mir auch schon so gedacht, ist dann die Fläche für ds Rechteck einfach: (u-1)*v??

Damit wäre der erste limus also u gegen unendlich= unendlich,

Und der limus mit u gegen 1=0 oder??

Wie krieg ich denn das mit dem Extremum hin?? Ableiten nachu und nullsetzen??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

18.10.2007, 16:50

Bjoern1982

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Denk dran dass v=f(u) gilt

Die Grenzwerte sind schon konkrete Zahlen.

Maximieren geht halt wie immer über die Nullstelle der 1. Ableitung und anschließender Betrachtung des Vorzeichens der 2. Ableitung smile

smile

Gruß Björn

18.10.2007, 17:03

mathe760

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Dann ist doch: A(u)= (u-1)*f(u) ,

und somit ist A'(u)=1*f(u)+(u-1)*f'(u)=f(u)+(u-1)*f'(u)

A(u)=0 <--> f(u)=-(u-1)*f'(u) /:f'(u)
f(u)/f'(u)=-(u-1) /*(-1)
-f(u)/f'(u)=u-1 /+1
1- f(u)/f'(u)=u

Also ist nachd dem Überprüfen: A_max(u)=(1- f(u)/f'(u)-1)*f(u)
= - f²(u)/f'(u)= - v²/f'(u) ???

Bis denn mathe760 Wink

Wink

18.10.2007, 17:06

Bjoern1982

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Die Funktion f ist doch konkret angegeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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18.10.2007, 17:07

mathe760

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soll ich jetzt u in K einsetzen??

18.10.2007, 17:10

Bjoern1982

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f(u)=(4u+5)/(u²-1)

18.10.2007, 17:14

mathe760

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Ok ich glaub jetzt hab ichs erstmal, ich werde dann später meine Lösung reinstellen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

18.10.2007, 17:16

Bjoern1982

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Tu das

smile

Viel Erfolg

19.10.2007, 17:32

mathe760

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Hallo,

So ich hab das jetzt gerechnet und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} A(u) =\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 1} A(u) =0 \end{eqnarray*}$

Und das Rechteck nimmt kein Extremum an, da die einzigste Lösung wenn man A'(u) ableitet und nullsetzt, 1 ist. Wenn man dies dann in A''(u) einsetzt, dann kommt da nichts raus, da in im nenner 0 steht!!

Ich hoffe das ist richtig.

Dann kommt jetzt die nächste Teilaufgabe:

4. Die Aufgabe steht im ersten Post.

Lösungsvorschlag von mir:

ich nehme zwei t, t_1 und t_2 (wobei t_1#t_2), diese setze ich in die Funktion ein und setze sie gleich, um den Gemeinsamen Punkt zu finden:

$\begin{eqnarray*} \frac{t_1x+5}{x^2-1}= \frac{t_2x+5}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ /-(t_2 x+5)/x^2-1)

$\begin{eqnarray*} \frac{t_1x+5}{x^2-1}-\frac{t_2x+5}{x^2-1}=0 \end{eqnarray*}$ /*(x^2-1)

$\begin{eqnarray*} t_1x-t_2x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t_1-t_2)=0 \end{eqnarray*}$

Dies führt zu x=0, da die klammer nie Null werden kann, da nach vorraussetzung t_1#t_2 ist.

Wenn ich dies in die Funkltion einsetze, dann kommt da y=-5 raus, also ist:

S: (0;-5)

Aber ich weiß nicht ob ich das so allgemein für alle t´s gezeigt habe.
Wenn dies so geht, könnt ihr mir dann sagen warum man es so zeigen kann, das dies für alle t´s gilt??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

19.10.2007, 17:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
So ich hab das jetzt gerechnet und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} A(u) =\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 1} A(u) =0 \end{eqnarray*}$

Ich habe irgendwie das Gefühl, daß das nicht richtig ist. Kannst du mal deine Rechnung zeigen?

Zitat:

Original von mathe760
Aber ich weiß nicht ob ich das so allgemein für alle t´s gezeigt habe.
Wenn dies so geht, könnt ihr mir dann sagen warum man es so zeigen kann, das dies für alle t´s gilt??

Das war alles ok. In Sprache ausgedrückt hast du doch folgendes gezeigt: Zwei x-beliebige Funktionen aus der Funktionsschar schneiden sich nur bei x=0. Es gibt also keine Funktion, die sich mit irgendeiner anderen Funktion an einer anderen Stelle schneidet.

19.10.2007, 18:03

mathe760

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Naja es ist doch: A(u)= (u-1)*f(u) , also wenn u gegen unendlich geht ist der Grenzwert gleich unendlich. Wenn u gegen 1 geht ist der Grenzwert gleich 0, da mit 0 multipliziert wird.

Ist dass so richtig??
Da bin ja richtig froh, dass ich das selbst rausgefunden habe mit den t´s, ich wollte nur noch mal sicher gehen smile

smile

Bis denn mathe760 Wink

Wink

19.10.2007, 18:37

StormGust

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Kannst du mal bitte die Funktionen
A(u) und A'(u) posten und zwar mit f(u) ersetzt durch den eigentlichen Wert.

Weil bei mir wird die Ableitung nie null... o.O

19.10.2007, 18:53

mathe760

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was meinst du??

Die Ableitung soll garnicht null werden.
Man setzt lediglich die u=unendlich bzw. u=1 in A(u) ein, und bestimmt so den Grenzwert.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

19.10.2007, 19:25

StormGust

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Zitat:

Und das Rechteck nimmt kein Extremum an, da die einzigste Lösung wenn man A'(u) ableitet und nullsetzt, 1 ist. Wenn man dies dann in A''(u) einsetzt, dann kommt da nichts raus, da in im nenner 0 steht!!

das meine ich, bei mir hat die Ableitung dafür keine Lösung o.O
Also hast du entweder Falsch abgeleitet, oder A(u) ist bereits falsch bei dir.

Drum würd ich die Funktion gerne mal sehn.

Und die Grenzwerte sind beides feste werte, weder 0 noch unendlich Big Laugh

Big Laugh

19.10.2007, 23:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
Naja es ist doch: A(u)= (u-1)*f(u) , also wenn u gegen unendlich geht ist der Grenzwert gleich unendlich. Wenn u gegen 1 geht ist der Grenzwert gleich 0, da mit 0 multipliziert wird.

Bist du da nicht etwas leichtsinnig mit solchen Überlegungen? Machst du in etwas folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}~(x-1) \cdot \frac{1}{x-1} = 0 \cdot \frac{1}{x-1} = 0 \end{eqnarray*}$
obwohl der Grenzwert in Wirklichkeit 1 ist?

20.10.2007, 13:52

mathe760

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ok du hast recht klarsoweit, ich werde nachher mal meinen kompletten Rechenweg hier reinstellen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

20.10.2007, 20:01

mathe760

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zunächst einmal ist das richtig?:

A(u)= (u-1)*((4u+5)/(u²-1))

und A'(u)= (4u+5)/(u²-1)+(u-1)*((-4u²-14)/(u²-1)²)

Und wenn nicht warum?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

20.10.2007, 21:20

StormGust

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der Zähler auf der 2. Seite ist nicht $\begin{eqnarray*} -4u^2-14 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} -4u^2-10u-4 \end{eqnarray*}$
wohl beim ausmultiplizieren ein u vergessen

einfacher wäre es aber auch möglich gewesen, denn
$\begin{eqnarray*} (u^2-1)=(u+1)*(u-1) \end{eqnarray*}$
dann würde sich (u-1) kürzen lassen, d.h. du müsstest nur $\begin{eqnarray*} \frac{4u+5}{u+1} \end{eqnarray*}$ ableiten.

Beide wege führen zum selben Ergebnis, nur der eine dauert länger, und ist auch anfälliger bei Rechenfehlern

21.10.2007, 17:57

mathe760

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du hast recht das war ein schlampigkeitsfehler, ich habe ausversehen das u bei der 10 im Schritt davor vergessen Hammer

Hammer

Die richtige Lösung müsste denn:

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{4u+5}{u+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{4(u+1)-1\cdot (4u+5)}{(u+1)^2} =\frac{4u+4-(4u+5)}{(u+1)^2} =-\frac{1}{(u+1)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt nullsetzt, dann hast du recht, das da nichts rauskommt, da da dann steht: -1=0 Und das ist eine falsche Aussage!

Also sorry für diesen dummen schlamp Fehler!

Bis denn mathe760

22.10.2007, 14:44

mathe760

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Also ist das jetzt so richtig??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.10.2007, 14:49

klarsoweit

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Das würde ich schon sagen. smile

smile

22.10.2007, 15:25

mathe760

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Gut danke, dann kommt jetzt die nächste Aufgabe:

Die zweite Aufgabe auf dem Zettel

1. Lösungsvorschlag:

Symmetrie: Punktsymmetrie
Asymptoten: y=0
Hochpunkt: $\begin{eqnarray*} H : (\sqrt{2} |\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
Tiefpunkt: $\begin{eqnarray*} T : (-\sqrt{2} |-\sqrt{8} ) \end{eqnarray*}$
Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} W_1 : (0|0); \end{eqnarray*}$

3. : Da hab ich gedacht, das ich die Tangenten berechne, dann die Einzelnen Seiten und Winkel berechne, und das dann vergleiche. Ist dass so richtig, oder gibt es auch ein kürzeren Weg???

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.10.2007, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
Hochpunkt: $\begin{eqnarray*} H : (\sqrt{2} |\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
Tiefpunkt: $\begin{eqnarray*} T : (-\sqrt{2} |-\sqrt{8} ) \end{eqnarray*}$
Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} W_1 : (0|0); \end{eqnarray*}$

habe ich jetzt nicht nachgerechnet, sieht aber so aus:

Zitat:

Original von mathe760
3. : Da hab ich gedacht, das ich die Tangenten berechne, dann die Einzelnen Seiten und Winkel berechne, und das dann vergleiche. Ist dass so richtig, oder gibt es auch ein kürzeren Weg???

Hmm. Also die senkrechten Geraden x=Wurzel(6) und -Wurzel(6) sind ja schon parallel. Wenn die Tangenten auch noch parallel sind, hätte man es schon. Was wäre also da zu zeigen?

EDIT: wobei ich meine, wegen der Punktsymmetrie sind Tangenten zu den Stellen a und -a immer parallel oder habe ich jetzt was übersehen?

22.10.2007, 15:41

mathe760

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es muss gelten: wenn m_1 und m_2 die zwei Steigungen der Tangenten sind,
dann muss m_1=m_2 sein.

Aber die Winkel im Paralellogramm müssen sich doch auch zu 180° ergänzen, ist das so schon vorausgesetzt, wenn die Seiten Paralell sind?? Weil es könnte sich dann ja auuch um ein rechteck handeln.

Das mit der Symmetrie, da hab ich keine Ahnung ob das so ist.

Bis denn mathe760

22.10.2007, 15:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
es muss gelten: wenn m_1 und m_2 die zwei Steigungen der Tangenten sind,
dann muss m_1=m_2 sein.

Richtig.

Zitat:

Original von mathe760
Aber die Winkel im Paralellogramm müssen sich doch auch zu 180° ergänzen, ist das so schon vorausgesetzt, wenn die Seiten Paralell sind?? Weil es könnte sich dann ja auuch um ein rechteck handeln.

Auch ein Rechteck wäre ein Parallelogramm. Also wenn sich zwei paralle Geraden mit zwei anderen parallen Geraden unter einem von Null verschiedenen Winkel schneiden, hat man automatisch ein Paralellogramm.

Zitat:

Original von mathe760
Das mit der Symmetrie, da hab ich keine Ahnung ob das so ist.

Das ist so. Wenn man eine Gerade um 180° dreht, bekommt man eine parallele Gerade.

22.10.2007, 16:01

mathe760

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du hast recht, also rechne ich jetzt mal die Tangenten aus, aber um die Fläche zu berechnen muss ich doch auch noch die Seitenlängen Ausrechnen und die Höhe oder??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.10.2007, 16:25

klarsoweit

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Genau. Es reicht die Länge einer Seite und der dazu passenden Höhe. Überlege dir, was am geschicktesten ist.

24.10.2007, 17:18

mathe760

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ok dann werde ich morgen warscheinlich die lösung reinstellen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

15.11.2007, 16:19

mathe760

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ist zwar ein bisschen spät geworden, aber naja hier ist meine Lösung:

t_1(x)= -0,5x+3,67
t_2(x)= -0,5x-3,67

Daraus folgt, dass t_1||t_2 ist.

Weiter sind x=sqrt(6)||x=-sqrt(6) und somit ist Viereck CPRB ein Parallelogramm.

Den Flächeninhalt hab ich nicht, könnt ihr mir da noch ein bisschen helfen??
Ist doch was mit Pythagoras oder?

Dann wäre da noch 5.

Da hab ich erstmal gleichgesetzt komme aber auf kein Ergebis.
Habt ihr einen guten Ansatz??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

19.11.2007, 16:48

mathe760

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Hallo könnt ihr mir helfen??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.11.2007, 16:17

mathe760

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Bitte helft mir doch irgendjemand.

22.11.2007, 18:31

klarsoweit

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Tut mir leid. Nach so langer Zeit, habe ich nicht den Ehrgeiz, mich nochmal in das Thema einzulesen. Am schnellsten bekommst du eine Antwort, wenn du nochmal beschreibst, was berechnet werden sollte und welche Rechenschritte du durchgeführt hast.

23.11.2007, 16:51

mathe760

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Ok hier nochmal das Aufgabenblatt unten.

Es geht um 3,4,5,6

zu 3: t_1(x)= -0,5x+3,67

t_2(x)= -0,5x-3,67

Daraus folgt, dass t_1||t_2 ist.

Weiter sind x=sqrt(6)||x=-sqrt(6) und somit ist Viereck CPRB ein Parallelogramm.

Den Flächeninhalt hab ich nicht, könnt ihr mir da noch ein bisschen helfen??
Ist doch was mit Pythagoras oder?

Also zu 4: P(x)= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} x^2+4x \end{eqnarray*}$

A(strich)= 2 2/3 FE

zu 5: Da hab ich erstmal gleichgesetzt komme aber auf kein Ergebis.
Habt ihr einen guten Ansatz??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

23.11.2007, 18:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
Den Flächeninhalt hab ich nicht, könnt ihr mir da noch ein bisschen helfen??
Ist doch was mit Pythagoras oder?

Pythagoras ist nicht zwingend erforderlich. Im Parallelogramm ist die Fläche = Grundseite * Höhe. Du mußt halt schauen, was sich als Grundseite gut eignet und welche Länge dann die Höhe hat.

28.11.2007, 19:06

mathe760

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kann mir denn mal erstmal jemand mit den anderen Aufgaben helfen, dann poste ich später meine Lösung zu 3.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

28.11.2007, 19:11

vektorraum

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@mathe760: es ist schon ziemlich schlecht, wenn du hier mal alle Tage vorbeischaust um diese Aufgabe zu lösen. Klar, vielleicht geht es nicht anders. Aber wie auch schon Klarsoweit gesagt hat, will man sich ja nicht immer wieder neu reinversetzen. Günstig wäre es, wenn das Problem jetzt ein für alle mal geklärt wird.

29.11.2007, 16:18

mathe760

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Ok Vektorraum und klarsoweit, dann bin ich jetzt mal jeden Tag on.

Meine Ansätze stehen ja oben, kann sich einer noch ein letztes mal in die Aufgabe hineinlesen, bitte Gott

Gott

Bis denn mathe760 Wink

Wink

01.12.2007, 19:53

mathe760

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Hallo kann mir bitte jemand helfen geschockt

geschockt

Bis denn mathe760 Wink

Wink

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