Grenzwerte an Definitionslücken

17.10.2007, 13:42

hexler

Grenzwerte an Definitionslücken

Hallo,

ich muss Grenzwerte von Funktionen an Definitionslücken berechnen,
und komm bei den letzten drei Aufgaben nicht weiter unglücklich

Bei allen anderen Aufgaben kam ich mit binomischen Formeln und multiplizieren mit einem Term der 1 ergibt (zb x/x) zur Lösung, aber das geht irgendwie nicht mehr.

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{x+1} }{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ganze in zwei Brüche aufteile, dann erhalte ich Grenzwerte ~1/0 - 1/0 was \infty - \infty und somit unbestimmt ist. Die Multiplikation mit dem Zähler als Bruch hat mich auch nicht weiter gebracht (konnte zwar 3. bin. Formel anwenden aber hatte dann im Nenner die sörende Wurzel. Und Polynomdivision konnte mir auch ne helfen.

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^5 -1}{x^4 - 1} \end{eqnarray*}$
Da hab ich auch wieder mit binomischer Formel experimentiert, kam aber ebenfalls nicht weiter.

... zu der dritten habe ich gerade noch eine Idee.

17.10.2007, 13:44

tigerbine

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RE: Grenzwerte an Definitionslücken
Wie sieht denn der kritische Grenzwert aus? Fall 1: 0/0. Da könnte man ja L'Hospital probieren.

Wie wäre es im Fall 2 mit einer Polynomdivision? verwirrt

17.10.2007, 13:46

hexler

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L'Hospital haben wir komischerweise nie besprochen.
Wir haben alles Aufgaben bis jetzt durch Umformen gelöst.
Also solange umgeformt bis wir einen Term hatten in dem man den Grenzwert einsetzen kann...

Bei der 2. hatte ich schon dividiert, aber bekam nen Rest raus der dann wieder "durch 0" darstellte

17.10.2007, 13:48

tigerbine

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Puh, dann lass uns erstmal die zweite machen. Ja?

Faktorisierung von Zähler uns Nenner. Wir betrachten die Polynome über den reellen Zahlen. Faktoren sind dann konst, linear oder quadratisch. Mal schauen, wie weit wir zerlegen müssen.

$\begin{eqnarray*} x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4-1 = (x-1) (x^3 + x^2 + x + 1) \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 13:51

hexler

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ok die zweite... ich versuch gerade nochmal die division

17.10.2007, 13:55

klarsoweit

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RE: Grenzwerte an Definitionslücken

Zitat:

Original von hexler
1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{x+1} }{x} \end{eqnarray*}$

Da kann man auch mit $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ erweitern und muß nicht l'Hospital bemühen. Augenzwinkern

17.10.2007, 13:56

tigerbine

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Mit dem Edit sollten wir es hinbekommen, da x=1 in beiden Funktionen eine einfache Nullstelle ist.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{x^5-1}{x^4-1} \end{eqnarray*}$ besitzt also bei x=1 eine hebbare Definitionslücke.

Edit: Der Mann für alle Fälle Mit Zunge

. Ich bin so francophil Big Laugh

17.10.2007, 14:14

hexler

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Die erste hab ich jetzt. Auf die Idee mit dem Erweitern bin ich auch schon gekommen, hab aba nen Rechenfehler gemacht ><

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\sqrt{x+1} }{x} * \frac{1+\sqrt{x+1} }{1+\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-x-1}{x *(1 + \sqrt{x+1})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-x}{x *(1 + \sqrt{x+1})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{1 + \sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$

Setzt man den Grenzwert 0 ein erhält man dann $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

Zur Nummer 2:

Die Zerlegung von $\begin{eqnarray*} (x^5-1) \end{eqnarray*}$ ist hier schon die Lösung smile

Denn dann kann man $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ im Zähler und Nenner kürzen und somit hat man im Nenner nur noch eine Addition von 1en was keine 0 ergibt und somit nen ordentlichen Grenzwert also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{(x-1)(x^3+x^2+x+1)} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 14:15

tigerbine

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Tippfehler
Tausch noch y gegen x, dann sollte es passen. Augenzwinkern

17.10.2007, 14:19

hexler

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schon passiert^^ Danke für die schnelle Hilfe... ich mach dann mal weiter smile

Ich merk leider dass mein mathematisches Wissen ziemlich eingerostet ist unglücklich

An das Faktorisieren zB hab ich garnicht mehr gedacht. Kennst du vlt ne gute Internetseite wo so nen paar Tricks zusammengefasst sind?

17.10.2007, 14:33

tigerbine

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Nö
kenne ich nicht. Wenn Du wieder Probleme hast, komm einfach ins Board. Benutz doch auch mal unsere Suche zum Thema Grenzwerte und mach Dir selbst eine Liste^^ Mit Zunge

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