Gaußscher Algorithmus

17.10.2007, 14:05

minzel

Gaußscher Algorithmus

Hallo!

Versuche jemand etwas nachhilfe in Mathe zu geben und scheitere selbst an den einfachsten Sachen die ich bis vor 2 Jahren noch konnte.

In diesem Fall geht es um den Gaußschen Algorithmus:

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x1-x2+x3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x1+x2-x3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x1+x2-x3=4 \end{eqnarray*}$

Die Lösung liegt auf der Hand:

$\begin{eqnarray*} x1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3=0 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Was mich jetzt stutzig macht ist, das im Minorski als Lösung angegeben ist:

$\begin{eqnarray*} x=(1,-1,0)^T+t(0,1,1)^T \end{eqnarray*}$

Mein Augenmerk liegt auf
$\begin{eqnarray*} +t(0,1,1)^T \end{eqnarray*}$
... weiß nun nicht mehr wie man dieses t*(X,X,X) herausbekommt.

Ich danke schon mal für jede Hilfe die ich bekommen kann =)

17.10.2007, 14:09

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsmenge
$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+1x_2-1x_3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x_1+1x_2-1x_3=4 \end{eqnarray*}$

Bringe mir das einmal auf Dreiecksgestalt. Das t deutet darauf hin, das es mehrere Lösungen gibt.

17.10.2007, 14:11

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Lösung liegt auf der Hand:

$\begin{eqnarray*} x1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3=0 \end{eqnarray*}$

Das ist eben nur eine mögliche Lösung.
Das LGS hat aber unendlich viele Lösungen.
Geometrisch betrachtet handelt es sich um 3 Ebenen, die sich in einer gemeinsamen Schnittgeraden schneiden.

Beim Lösen des LGS musst du nachher eine allgemeine Lösung in Abhängigkeit eines Parameter angeben.

Gruß Björn

17.10.2007, 14:12

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dreiecksdarstellung:

$\begin{eqnarray*} x1-x2+x3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x2+3x3=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x3=0 \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 14:15

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982

dann müßte es doch aber lauten:

$\begin{eqnarray*} ... + t(1,-1,0) \end{eqnarray*}$

oder? aber im minorski stehen leider andere zahlen.

17.10.2007, 14:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Dreieck in falscher Gestalt
$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+3x_2-3x_3=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+6x_2-6x_3=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+3x_2-3x_3=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3=0 \end{eqnarray*}$

Noch ein wenig optisches Tuning:

$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+1x_2-1x_3=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3=0 \end{eqnarray*}$

Nun von unten nach oben und von rechts nach links:

$\begin{eqnarray*} x_3:=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2= t-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=2+(t-1)-t = 1 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\-1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 14:38

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man darauf:

$\begin{eqnarray*} 0x1+0x2+0x3=0 \end{eqnarray*}$

Bei mir lautet die Zeile zum Schluss:

$\begin{eqnarray*} 0x1+0x2+2x3=0 \end{eqnarray*}$

PS:
Wann genau setzt man einen x-Wert = t ?

17.10.2007, 14:43

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es nun schon im Detail vorgerechnet. Mehr als üblich ist. unglücklich

$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+1x_2-1x_3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x_1+1x_2-1x_3=4 \end{eqnarray*}$

code:
1: 2:	II' = II-2I III' = III-5I

$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+3x_2-3x_3=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+6x_2-6x_3=-6 \end{eqnarray*}$

code:
1:	III'' = III'-2II'

$\begin{eqnarray*} 1x_1-1x_2+1x_3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+3x_2-3x_3=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn eine Nullzeile ensteht kann man eine Variable frei wählen. Üblich ist es mit der letzten, hier x_3 zu beginnen. Also x3=t.

17.10.2007, 15:11

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke ... soweit ist es geschafft. Etwas weiter oben liegt ein Rechenfehler meinerseits vor, deshalb kam ich nicht auf die 0-Zeile.

Leider werd ich noch nicht ganz schlau aus der Zusammenstellung des t's,

Von Unten nach Oben ist okay ...
von rechts nach links nehm ich das Ergebnis der Zeile zuerst?

Zu x2:

$\begin{eqnarray*} 0x1-1x2+1x3=1 \end{eqnarray*}$
(Habe in dem Fall kein Vorzeichenwechsel gemacht um es bis zu Ergebnis des t's einfach zu halten)

Würde folgendermaßen rangehen:

$\begin{eqnarray*} 1 + (1*t) - 1 \end{eqnarray*}$
(Das x1 entfällt ja an dieser stelle)

Irgendwie weiß ich leider nichts damit anzufangen, bzw. komme nicht auf die gewünschte:

$\begin{eqnarray*} x2=t-1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

17.10.2007, 15:17

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Leider werd ich noch nicht ganz schlau aus der Zusammenstellung des t's,

Von Unten nach Oben ist okay ...
von rechts nach links nehm ich das Ergebnis der Zeile zuerst?

Eigentlich müßtest du nur lesen, was ich geschrieben habe. Unten nach oben bedeutet wohl, dass die dritte Zeile (Nullzeile) zuerst betrachtet wird. Hätte das LGS hier eine eindeutige Lösung (Dreiecksgestalt) so würde nur vor dem x3 keine 0 stehen. Hier steht aber 0=0 und deswegen wählt man x3 frei und nennt es x3=t.

Da keine weitere Nullzeile vorhanden ist, ergibt sich der Rest einfach durch einsetzten. also in Zeile 2 wird x3 eben durch t ersetzt u nd dann nach x2 aufgelöst.

17.10.2007, 15:39

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, schwierige geburt:

$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2= t-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=2+(t-1)-t = 1 \end{eqnarray*}$

Komme jetzt ebenfalls darauf. Nun zum nochmaligen einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2= 0-1 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=2+(t-1)-t = 1 \end{eqnarray*}$

Ergebnis müßte nun lauten:

$\begin{eqnarray*} ... + t(0,-1,1) \end{eqnarray*}$

was wieder ein wiederspruch zum minorski bedeuten würde *seufz*

17.10.2007, 15:42

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nun zum nochmaligen einsetzen:

Was soll das sein? Warum setzt Du t=0? verwirrt

Du musst Doch oben nur in "t" und "ohne t" unterscheiden. geschockt

$\begin{eqnarray*} x_3= +0 + 1t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2= -1 + 1t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1= +1 + 0t \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 15:58

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke. es hat jetzt an

$\begin{eqnarray*} x_1=2+(t-1)-t = 1 \end{eqnarray*}$

gelegen. Speziell die Klammer hat mich irritiert. Aber nur bei Multiplikation musste man ja Ausklammern. Es scheint wohl so, bei den einfachsten Dingen im Leben bricht man sich das Genick Finger1

Ich danke dir ganz doll!!

17.10.2007, 16:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es scheint wohl so, bei den einfachsten Dingen im Leben bricht man sich das Genick

Ja, also auch obacht bei der Hausarbeit Wink

Neue Frage »

Antworten »

Gaußscher Algorithmus

Verwandte Themen