nur eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen |
| 17.10.2007, 14:11 | Spinxer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| nur eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen ich habe mal eine Frage bezüglich Ableitungen und Stammfunktionen. Es gibt zu einer Funktion ja immer nur genau eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen. Warum ist das eigentlich so? Eine Ableitung gibt ja immer die Steigung des zugrundeliegenden, "übergeordneten" Graphen in einem bestimmten Punkt an. In einem Punkt hat ein Graph eine bestimmte Steigung, aber eben genau nur die eine und keine zweite. Wäre ja auch irgendwie idiotisch, wenn es in einem Punkt zwei verschiedene Steigungen gäbe - wie sollte das gehen. Kann man deshalb sagen, dass es zu einer Funktion f(x) immer nur genau eine Ableitung f'(x) geben kann? Und was die Stammfunktionen betrifft: es gilt ja F'(x)=f(x). Das heißt, die Ableitung der Stammfunktion ergibt die zugrundeliegende Funktion. Beim Ableiten wird jede Konstante - damit meine ich eine Zahl ohne x - zu 0. Es ist also völlig egal, ob meine Stammfunktion hinten noch ein +1, -9, +7 oder so hängen hat. Und da ich mich ja aus dem Bereich der reellen Zahlen bedienen kann, kann ich unendlich viele Stammfunktionen basteln. Kann man die Eigangsfrage so oder so ähnlich beantworten? Und was noch viel wichtiger ist, weil es so in der Aufgabe verlangt wird: lässt sich dieser Zusammenhang irgendwie veranschaulichen? Vielleicht graphisch oder durch fundierteres Hintergrundwissen über Differential- und Integralrechnung, als es mir zu eigen ist? Wie würdet ihr die Frage beantworten? Ich bin für alle Tips dankbar. LG Spinxer |
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| 17.10.2007, 14:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Defintion Wie ist denn der Begriff "Stammfunktion" definiert. Darin liegt die Lösung und mit der Ableitung von Konstanten hast Du auch die Begründung gefunden. Welche Aufgabe? |
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| 17.10.2007, 14:14 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: nur eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen
Ja, deine Begründungen sind anschaulich gesehen richtig. |
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| 17.10.2007, 14:20 | Spinxer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also würdet ihr es auch so machen. Meine Frage ist eine Aufgabe in Mathematik. Wir sollen anschaulich erläutern, warum es nur genau eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen gibt. Bei dem Begriff "anschaulich" bin ich mir nicht sicher, ob wir das irgendwie graphisch oder so verdeutlichen sollen. Kann man das denn überhaupt graphisch machen? Die Erklärung tuts doch auch ganz gut. Ach so, und die Definition der Stammfunktion geht doch über den Zusammenhang F'(x)=f(x). |
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| 17.10.2007, 15:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Und darüber kann man auch leicht zeigen, daß verschiedene Stammfunktionen zu einer Funktion sich jeweils um eine Konstante unterscheiden: Sind F(x) und G(x) Stammfunktionen von f(x), dann gilt F'(x)=G'(x)=f(x). Also ist F'(x) - G'(x) = 0 für alle x. Die Ableitung der Funktion H(x) := F(x) - G(x) ist also immer Null. Mit dem Mittelwert der Differentialrechnung kann man leicht zeigen, daß dann H(x) eine Konstante ist. Es gibt also eine Konstante c mit F(x) = G(x) + c. Anschaulich bedeutet das, daß der Graph von G(x) im Koordinatensystem gegenüber dem Graphen von F(x) um die Konstante c nach oben oder unten verschoben ist. Demzufolge haben beide Funktionen an jeder Stelle x die gleiche Steigung. |
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