maximales Quadervolumen

17.10.2007, 15:02	LianeT	Auf diesen Beitrag antworten »
maximales Quadervolumen Hallo liebe Forumsmitglieder! Seit einigen Monaten bin ich jetzt schon dabei in alten Forumsbeiträgen herumzustöbern und konnte schon unzählige Tipps für meine Probleme finden! Allerdings bin ich bei dieser Aufgabe gerade kurz vor der Verzweiflung, obwohl sie gar nicht so schwer aussieht... Bestimmen Sie den achsenparallelen Quader größten Volumens mit linker unterer Ecke (0,0,0) und gegenüberliegender rechter oberer Ecke auf der durch die Gleichung 1-x-2y-3z=0 gegebenen Ebene. Mein Lösungsansatz wäre, erstmal den Gradienten auszurechnen. Für die partiellen Ableitungen bekomme ich dann erstmal: d/dx=-1 d/dy=-2 d/dz=-3 Also: Grad(f)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ab hier weiß ich leider schon nicht mehr, was ich machen soll. Wie mache ich denn jetzt weiter? Liebe Grüße LianeT
17.10.2007, 23:23	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das Volumen des Quaders, also die Funktion, die du minimieren musst? Dann hast du noch ne Nebenbedingung. Soweit ich mich erinnere geht das über Lagrangemultiplikatoren, schon mal gehört? mfG 20
17.10.2007, 23:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte das Volumen nicht maximiert werden? LG
18.10.2007, 19:18	LianeT	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumen des Quaders ist ja : V=abc Also habe ich die Funktion: f(x,y,z)=xyz Und die Nebenbedingung: 1-x-2y-3z=0 Habe jetzt mal nach Lagrangemultiplikatoren gegoogelt, bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das verstanden habe... Mein neuer Lösungsansatz wäre dann: L(x,y,z, $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ )= xyz+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ (1-x-2y-3z)= =xyz+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -x $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -2y $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -3z $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \end{eqnarray}$ =yz- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ =xz-2 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dz} \end{eqnarray}$ =xy-3 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\lambda} \end{eqnarray}$ =1-x-2y-3z Und dann das Gleichungssystem lösen... Aber stimmt das bisher überhaupt? In der Aufgabe habe ich ja noch den Punkt (0,0,0) in der einen Ecke gegeben. Wie kann ich den denn mit einbauen?
18.10.2007, 20:19	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall ist maximieren ziemlcih sinnlos, es ist ja schon anschaulich ohne rechnen klar, daß man auf der Ebene Punkte finden kann, die beliebige weit vom Ursprungentfernt sind, und dadurch das Volumen das Quaders beliebig groß wird. Es wird wohl wie 20_cent schon bemerkt hat, um eine Minimierung geben. In diesem einfachen Fall sind auch Lagrangmultiplikatoren unnötig, schmeiß doch einfach durch einsetzen der Nebenbedingung eine Unbbekannte aus deiner Zielfunktion raus. Dann kommst du auf dem üblichen Weg (Gradient =0) zu notwendigen Bedingungen an eine Extremstelle. Dass der Punkt (0,0,0) ein Eckpunkt ist, hast du shcon beim aufstellen der Zielfunktion eingebaut.
18.10.2007, 21:56	LianeT	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mal die Nebenbedingung nach x aufgelöst: 1-x-2y-3z=0 =>x=1-2y-3z und in die Zielfunktion eingesetzt: (1-2y-3z)yz=0 => yz-2y²z-3yz²=0 Gradienten bilden und gleich 0 setzen: d/dx = z-4yz-3z² d/dy =y-2y²-6yz Stimmt das jetzt soweit? Nun habe ich aber Probleme die kritischen Punkte herauszufinden... d/dx nach y aufgelöst: $\begin{eqnarray} y= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} z \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt in d/dy einsetze bekomme ich etwas ganz wirres raus und am Ende z= $\begin{eqnarray} \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{63}{16}}}{\frac{-27}{4} } \end{eqnarray}$ Das kann doch nicht stimmen... Leider finde ich den Fehler nicht.
Anzeige

19.10.2007, 16:58	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, so müsste es gehen. Ob das Ergebnis schön ist, kann ich dir nicht sagen. Bestimme außerdem noch x und y (y über die Gleichungen, x über die Ebene), dann mach dir ne Skizze... Es handelt sich in der Tat wohl um Maximieren, wenn ich mir die Ebene grade richtig vorstelle. Es sind als Punkte auf der Ebene, für den Eckpunkt des Quaders, nämlich nur die zugelassen, die im ersten Quadranten liegen, denn sonst ist der Quader nicht mehr durch die Ebene beschränkt. mfG 20 PS: Du hast bei den Ableitungen x,y, und z ein bisschen durcheinander, aber die Rechnungen müssten richtig sein.
19.10.2007, 18:55	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok, ich habe das mit der linken unteren und der rechten oberen Ecke überlesen. Dann ist das ganze natürlich wirklcih auf den ersten Quadranten beschränkt und eine Maximierung macht Sinn.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »