stochastische Konvergenz

17.10.2007, 16:16	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische Konvergenz Hallo, Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} \theta \in (0,\infty) \end{eqnarray}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray} (X_i)_{i \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängige Zufallsgrößen, welche alle gleichverteilt auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, \theta] \end{eqnarray}$ sind. Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} Y_n=\frac{2}{n} \cdot \sum_{i=1}^n~X_i \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ konvergiert stochastisch gegen $\begin{eqnarray} E(Y_n)=\theta \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in die Definition der stochastischen Konvergenz ergibt sich: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(\|Y_n-\theta\|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ Das, was ich zeigen soll, folgt ja unmittelbar aus dem schwachen Gesetz der Großen Zahlen von Czebyshev. Dieses besagt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(\|\frac{S_n}{n}-E(\frac{S_n}{n})\|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ die Summe der ersten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Zufallsgrößen bezeichnet. Nun setze ich $\begin{eqnarray} \frac{S_n}{n}=Y_n=\frac{2}{n} \cdot \sum_{i=1}^n~X_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(\frac{S_n}{n})=E(Y_n)=\theta \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in das schwache Gesetz der Großen der Zahlen ergibt sich: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(\|\frac{2}{n} \cdot \sum_{i=1}^n~X_i-\theta\|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ . Also konvergiert $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ stochastisch gegen $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ . Kann ich das so über das schwache Gesetz der Großen Zahlen machen oder ist meine Schlussfolgerung falsch? Danke schonmal für eure Hilfe. Gruß, Mr.Pink
17.10.2007, 17:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das geht so. Allerdings solltest du nicht unerwähnt lassen, warum du das schwache Gesetz der Großen Zahlen von Tschebyscheff hier anwenden darfst - d.h., du solltest zeigen oder zumindest erwähnen, dass dessen Voraussetzungen hier erfüllt sind. Das betrifft insbesondere die endliche Varianz.
17.10.2007, 17:29	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur, Die Varianz habe ich in einer vorherigen Teilaufgabe bestimmt und sie ist auch endlich. Die anderen Voraussetzungen werde ich dann beim "schön-hinschreiben" erwähnen. Danke für Deine Hilfe.

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