FourierReihen

17.10.2007, 18:39

Fletcher

FourierReihen

Guten Abend,

ich habe Probleme mit ein paar Aufgaben, die uns in Zusammenhang mit Fourierreihen gestellt wurden. Ich stelle sie einfach mal hier rein und hoffe das ihr mir vielleicht ein paar Tips geben könntet wie man so etwas am schnellsten lösen kann?!

zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2k+1)^4}= \frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^{k+1}}{(k)^6}= \pi^6(\frac{1}{960}-\frac{1}{2^6\cdot945} ) \end{eqnarray*}$

Auch die Fourierreihe für $\begin{eqnarray*} \mid \sin(x)\mid \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$
macht mir Probleme. Ich schon soweit, dass ich mit Hilfe der Additionstheoreme soweit bin das ich leicht integrieren kann. Aber auch der Betrag bereitet mir hier Probleme.

Und die letzte Sache: Wie löst man: $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~e^{ax}\sin(kx)~dx \end{eqnarray*}$

Bin für jeden Tip dankbar.

Modedit: \sin Augenzwinkern

17.10.2007, 18:42

Frooke

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Ich sag nur kurz was zum Sinus im Betrag:

$\begin{eqnarray*} f(x):=|\sin x| \end{eqnarray*}$ ist eine gerade Funktion (überlege Dir, was das für die Fourierkoeffizienten bedeutet). Dann musst Du für diese Koeffizienten über eine Periode integrieren. Wähle die Integrationsgrenzen von minus Pi bis Pi, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\pi}^{\pi}|\sin x|~\dx = 2\int\limits_0^\pi \sin x~ \dx \end{eqnarray*}$

EDIT: f gerade, g gerade => f·g gerade... Benutze das Augenzwinkern

17.10.2007, 18:49

Fletcher

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Hi danke dir für den Tip. Bei der sinus Sache war mir klar, dass die Fourier-Koeffizienten für den Sinus =0 sein müssen. Also muss ich nur $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\mid sin(x) \mid cos(kx) ~dx \end{eqnarray*}$ lösen, aber ich bin da noch nicht so recht dahinter gekommen, werde es gleich mal mit deinem tip versuchen.

17.10.2007, 21:01

Fletcher

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Also bei den anderen Aufgaben wo man zeigen soll dass die Gleichheit gilt, finde ich keinen Ansatz. Weiß jemand Rat?

17.10.2007, 21:51

therisen

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RE: FourierReihen

Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2k+1)^4}= \frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96}-1 \end{eqnarray*}$

Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \zeta(4)= \frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$ .

18.10.2007, 08:20

Fletcher

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Danke für die Info,
aber nichtsdestotrotz ist das bei mir auf dem Zettel so angegeben unglücklich

Aber wie löst man diese Aufgaben, denn?

18.10.2007, 21:13

Fletcher

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Kann mir wirklcih niemand weiterhelfen, oder ist das schon wieder zu leicht für euch?

18.10.2007, 21:33

Tomtomtomtom

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Naja, Fourierreihen sind schon ein etwas spezielleres Thema. Das mag jetzt mancher anders sehen, aber ich habe mich zum Beispiel noch nie intensiv damit beschäftigt. Ich könnte das jetzt zumindest soweit tun, daß ich deine Fragen beantworten kann. Aber bei so speziellen Themen posten ist eigentlich Unsinn, wenn sich schon jemand anderes, der Ahnung zu haben scheint, des Themas angenommen hat. Es sei denn es steckt irgendwo ein wesentlicher Fehler, es gab länger keine Antwort, oder man möchte nach der Lösung noch etwas ergänzen was einem wichtig vorkommt. Also so 24-48h würde ich schon warten. ^^

Edit: Weil da noch kein Tipp dazu kam:

Zitat:

Und die letzte Sache: Wie löst man: $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~e^{ax}\sin(kx)~dx \end{eqnarray*}$

Ich würde

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~e^{ax}(\sin(kx)+i \cos(kx))~dx \end{eqnarray*}$

berechnen, und vom Ergebnis den Realteil nehmen.

18.10.2007, 21:36

Fletcher

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Danke für die Meinung. Es ist halt nur immer so dass man selbst gerne weiter arbeiten möchte und vielleicht nur etwas auf den Schlauch steht. Ein Stichwort genügt manchmal etc. Das Thema haben wir auch nur sehr kurz behandelt und dazu nun eben solche Übungsaufgaben gestellt bekommen. Ein paar davon konnte ich bereits lösen und andere eben nicht und daszu gehören diese Summenformeln, wovon ich keine Ahnung habe und auch nicht direkt die Verbindung zu den Fourierreihen sehe. Ich tippe fast das es mit der Parsevalschen Gleichung zu tun haben könnte, aber wie ich das konkret mach weiß ich auch nicht so genau!

18.10.2007, 21:41

Tomtomtomtom

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Prinzipiell kannst du die ersten beiden Aufgaben lösen, indem du eine Fourierreihe findest, deren Glieder (nach einsetzen einer geeigneten Stelle) genau die Summanden auf der linken Seite sind. Wenn du dann noch die Funktion kennst, die diese Fourierreihe darstellt, kannst du dieselbe Stelle in diese Funktion einsetzen, und müßtest den WErt auf der rechten Seite bekommen.

18.10.2007, 22:15

Fletcher

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Hmm, die vorgeschlagene Idee von dir scheint kompliziert zu sein!

Das andere hatte ich auch schon im Hinterkopf aber ob das hinhaut werde ich morgen nochmal genauer verfolgen.

Aber Danke erstmal

19.10.2007, 10:46

IBS Engineer

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RE: FourierReihen
Und die letzte Sache: Wie löst man: $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~e^{ax}\sin(kx)~dx \end{eqnarray*}$

Naja ist doch eigentlic ein einfaches Integral...

umstellen zu:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~a e^{ax} * sin (k x)dx + \int_{-\pi}^{\pi}~e^{ax} * -k *cos(kx)~dx \end{eqnarray*}$

mit partieller Integration funktioniert das auch

man muss sich nur zu helfen wissen...

hin und wieder hilft bei soetwas auch ein Blick in den Bronstein der hilft aber nur mit Tabellen und allgemeinen Lösungsansätzen aus...

20.10.2007, 14:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
Hi danke dir für den Tip. Bei der sinus Sache war mir klar, dass die Fourier-Koeffizienten für den Sinus =0 sein müssen. Also muss ich nur $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\mid sin(x) \mid cos(kx) ~dx \end{eqnarray*}$ lösen ...

Der Betrag des Sinus ist pi-periodisch.

21.10.2007, 09:22

Fletcher

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So ich bins nochmal,

ich konnte diese Aufgaben jetzt alle soweit lösen außer bei drei solcher Summenformeln komme ich nicht weiter:

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{k^4}=\frac{241}{23040} \pi \end{eqnarray*}$

Eine mögliche Funktion dazu hätte ich im Skript auch schon gefunden, mit Hilfe der Parsevalschen Gleichung muss ja $\begin{eqnarray*} a_k^2+b_k^2 \end{eqnarray*}$ irgendwie $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} \end{eqnarray*}$ ergeben, aber wenn ich bspw. die Reihe hernehme: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}cos(kx)=(\pi^2-3x^2)\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$
dann habe ich zwar ein a_k gefunden, dessen Quadrat mit dem Nenner übereinstimmt, aber im Zähler geht es schief, weiß jemand da weiter???

2) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{k^6}=(\frac{1}{960}-\frac{1}{2^6 \cdot 945)} \pi^4 \end{eqnarray*}$

3)) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k+1)^6}=\frac{\pi^6}{960} \pi \end{eqnarray*}$

Bin für jedenRat dankbar.

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