Beweis einer Ungleichung ohne Vollständige Induktion

17.10.2007, 21:23

Fabian

Beweis einer Ungleichung ohne Vollständige Induktion

Hey,

mache gerade ein paar Übungsaufgaben und bin jetzt auf folgende gestoßen:

Ich soll
$\begin{eqnarray*} n!\geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ ohne Vollständige Induktion beweisen.

Habe nun ein bisschen mit Log rumgemacht, komme aber nicht weiter. Habt ihr einen Tipp für mich?

17.10.2007, 21:25

kiste

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Du kannst jeden Faktor der Fakultät großzügig abschätzen dann steht es schon da

17.10.2007, 21:33

Fabian

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und wie schreibe ich das mathematisch? verwirrt

17.10.2007, 21:41

kiste

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Versuch es doch einfach mal, zur Not auch mit etwas Prosatext smile

17.10.2007, 21:44

therisen

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Es gilt $\begin{eqnarray*} k\geq2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=2,\dots,n \end{eqnarray*}$ . Bilde nun das Produkt und lasse dabei k von 2 bis n laufen.

17.10.2007, 21:58

Fabian

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@therisen

ich verstehe leider überhaupt nichts unglücklich

Welches Produkt meinst du?
Ich sehe ja auch auf einen Blick das die Behauptung stimmt, aber ich kann sie nicht mathematisch beweisen.

17.10.2007, 22:06

kiste

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$\begin{eqnarray*} n! \geq n\cdot ... \cdot 2 \geq 2 \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \geq ... \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

17.10.2007, 22:49

Fabian

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hmm also kritzel hier meine blätter voll, aber werde irgendwie nicht schlau aus den sachen unglücklich

Habe bis jetzt nur

$\begin{eqnarray*} n! \geq 2*...*n \geq \frac{2*...*n}{n} \geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

aber kiste könntest du mir erklären, wie du auf $\begin{eqnarray*} 2*(n-1)*...*2 \end{eqnarray*}$ kommst?

also solche beweise fallen mir immer schwer.

17.10.2007, 22:57

therisen

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Zitat:

Original von Fabian
Welches Produkt meinst du?

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^n k \geq \prod_{k=2}^n 2 \end{eqnarray*}$

Das ist schon die Behauptung.

17.10.2007, 23:00

kiste

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Zitat:

Original von Fabian
aber kiste könntest du mir erklären, wie du auf $\begin{eqnarray*} 2*(n-1)*...*2 \end{eqnarray*}$ kommst?

abgeschätzt mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Im Prinzip also der erste Schritt von dem auf was auch therisen hinauswill.

18.10.2007, 00:17

Fabian

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Also ich kriege es einfach nicht in mein Kopf...

@therisen leider kenne ich dieses Zeichen mit den 2 Säulen nach unten geöffent (noch) nicht und habe dazu leider auch nicht viel finden können.

@kiste was meinst du genau mit abschätzen?

Also wenn ich mir deine Ungleichung so anschaue und mal ganz primitiv zahlen einsetze:

für n = 3

würde ich ja dann
$\begin{eqnarray*} 3! \geq 3*2 \geq 2*2*2 \geq ...\geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

bekommen.
Aber für n = 2

$\begin{eqnarray*} 2! \geq 2*2 \geq 2*1*2 \geq ...\geq 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

oder fallen dann die zweien am Ende weg (also ...*2 muss in diesem fall wegfallen)?

Was hat \geq ...\geq zu bedeuten?

Wie ihr seht habe ich noch ziemlich wenig Ahnung von solchen Formalitäten. Leider.
Sorry für meine dummen Fragen aber ich würde es so gerne verstehen und selbst machen können.

18.10.2007, 09:44

kiste

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Da sieht man bereits das bedenkliche an der ...-Notation. Im Prinzip bedeutet das ... das man sich denken kann was dannach kommt Augenzwinkern

. Ich habe das von therisen, meiner Ansicht nach für Anfänger, einfacher aufgeschrieben.
Das komische Zeichen von therisen ist bereits der Beweis smile

.

Zu deinen Beispielen.
n=3: $\begin{eqnarray*} 3! \geq 3\cdot 2 \geq 2 \cdot 2 \geq 2^{3-1} \end{eqnarray*}$
n=2: $\begin{eqnarray*} 2! \geq 2 \geq 2^{2-1} \end{eqnarray*}$
und zum Verständnis noch n=4:
$\begin{eqnarray*} 4! \geq 4 \cdot 3 \cdot 2 \geq 2 \cdot 3 \cdot 2 \geq 2 \cdot 2 \cdot 2 \geq 2^{4-1} \end{eqnarray*}$ .

So jetzt zum $\begin{eqnarray*} \prod \end{eqnarray*}$ -Zeichen, diesen ist das gleiche wie das Summenzeichen $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ bloß das jetzt ein Produkt gebildet wird.
Es gilt also:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n i = n! \end{eqnarray*}$
oder:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^3 (2i+1) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ .

Lese dir jetzt die Antworten von therisen und mir nocheinmal genau durch, dann solltest du die Beweise verstehen.

19.10.2007, 00:35

Fabian

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Super Vielen Dank für die klasse Erklärung!

Ich habs verstanden!

30.10.2010, 15:51

cHilLz0Ne

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Hallo,

Entschuldigung, dass ich dieses alte Thema wieder raufhole, aber ich habe die gleiche Fragstellung und immer noch Probleme damit.

Euren Argumentationen kann ich soweit eigentlich folgen.

Ich verstehe nur die Antwort von therisen nicht.
Wahrscheinlich steh ich grade einfach nur auf dem Schlauch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^n k \geq \prod_{k=2}^n 2 \end{eqnarray*}$

Das ist schon die Behauptung.

Denn was ist, wenn n=1 ist?

Dann ist die Behauptung $\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^n k \end{eqnarray*}$ doch nicht definiert oder?
Denn k ist dann größer als n

Mir fehlt glaub ich nur dieser eine kleine Anstoß um die Sach zu verstehen.

lg

30.10.2010, 16:42

cHilLz0Ne

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Ich wollts editieren, aber das ging nicht mehr.

Ich glaube es hat sich erledigt. Ich habs kapiert, denke ich.

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Beweis einer Ungleichung ohne Vollständige Induktion

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