Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche

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Oliver Auf diesen Beitrag antworten »
Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
Liebe Leute,

Ich bin Künstler und möchte ein Objekt bauen, dass genau passt zwischen zwei gegenüberliegende Ecken eines Zimmers. Gegenüberliegend heißt, wenn man reinkommt befindet sich die eine Ecke vorne oben links, die andere hinten unten rechts (Auf der Zeichnung im Anhang ist die gestrichelte Raute ganz links „vorne“). Passend soll heißen, dass das Objekt vorne oben links an den zwei Wandflächen und der Deckenfläche abschließt und hinten unten rechts an den zwei Wandflächen und der Bodenfläche. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Teilflächen des Objekts, ihre Kantenlängen und Winkel berechnen kann. Falls jemand Lust hat, sich damit zu befassen (Ich bin für jeden Tip oder Hinweis sehr dankbar) schreibe ich zunächst mal, was meine zugrundeliegende Idee bei dem Objekt war, damit man ein ungefähre Vorstellung bekommt, was die Bedingungen bei dieser Aufgabenstellung sind. Und dann schreibe ich, wo ich meine Schwierigkeiten habe.

Das Zimmer ist ein gewöhnlicher „Kasten“ mit acht Ecken, zwölf Kanten und sechs Seiten (das ist natürlich grob vereinfachend gesprochen, selbstverständlich hat das Zimmer auch eine Tür und Fenster, deren Ecken, Kanten und Flächen ich nicht mitzähle). Diese Sechsundzwanzig Elemente sollen meine Bauteile sein. Einige lasse ich so zusammengesetzt, wie sie sind, andere setze ich neu zusammen, wieder andere werden überflüssig und fallen weg. In diesem Sinne füge ich dem Raum gar nichts hinzu, sondern baue ihn nur um. Dazu muss ich allerdings die Kanten und Flächen in Gedanken verbiegen können, als seien sie elastisch.
In diesem Fall stülpe ich also die besagten Ecken erst einmal um, von konkav nach konvex, so dass sie in das Zimmer hineinragen. Jetzt vebinde ich Die drei Kanten und Flächen des einen Zipfels mit den drei Ecken und Kanten des anderen. Der Raum hat dann zwei Ecken weniger und aus sechs Kanten und sechs Flächen werden drei Kanten und drei Flächen, und der Raum bekommt ein durchgehendes Loch. Oder positiv ausgedrückt: Er bekommt einen Henkel.

Das ist meine Idee. Damit ist erst wenig darüber gesagt, wie das Ganze aussehen soll. Ich lege keinen Wert darauf, dass es so aussieht, als seien die Wände tatsächlich elastisch. Wie kann man so einen Henkel konstruieren, um ihn aus festem Material zu bauen?

Eine Möglichkeit wäre, ein dreikantiges Prisma in den Raum einzusetzen, das von einer Ecke zur anderen reicht und um 60° verdreht ist, damit seine Kanten an beiden Enden auf die gegebenen Innenkanten bei den Ecken treffen. Das Prisma müsste aus einzelnen dreieckigen Scheiben bestehen, um verdrehbar zu sein. Die Kanten zwischen den Flächen des Prismas und den Wänden des Zimmers müssten dann noch abgerundet werden, denn außer den schon vorhandenen, umgestülpten und verlängerten Kanten des Zimmers soll der Henkel keine weiteren Knicke haben.

Mir schwebt aber noch eine andere Möglichkeit vor, die mir einfacher realisierbar zu sein scheint, unter anderem weil die drei Flächen des Henkels dann abwickelbar wären:
Man nimmt die beiden Zipfel und steckt sie ineinander, so dass die einen drei Kanten die anderen drei berühren. Statt einer Drehung über die ganze Länge des Henkels hat man dann einen Knick in jeder Kante und jeder Fläche an der Verbindungsstelle. Außer dort sind die Kanten gerade. Die unerwünschten Knicke können anschließend abgerundet werden, indem man an ihrer Stelle Stücke von Zylinderwänden einsetzt.
Weitere einschränkende Bedingungen möchte ich allerdings noch dazunehmen:
Um perspektivische Täuschungen möglichst zu vermeiden, sollen Abstände, die gleich sein können, gleich sein und Kanten, die parallel sein können, sollen parallel sein. (Es soll nicht heißen, dass die Schnitte der Prismen miteinander oder mit den Wänden gleichseitige Dreiecke sein sollen)
Das soll heißen, dass die zwei verbundenen Stücke, aus denen der Henkel besteht, dreikantige Prismen mit gleich großen gleichseitigen Querschnitten sein sollen.
Wie groß der Abstand zwischen den parallelen Kanten sein soll, da kann ich mich noch nicht festlegen.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass es möglich ist, alle diese Bedingungen zu erfüllen, weil ich mir ein Modell aus Papier gebastelt habe, wo es ganz danach aussieht, aber wie kann man die Kantenlängen und Winkelgrößen berechnen, um sich die zwei Prismen zuzuschneiden?

Das ist meine Frage. Nur um zu zeigen, dass ich nicht bloß faul bin und selber schon nach einer Lösung gesucht habe, schreibe ich meinen Ansatz mal hin:

Stellt man die Kanten eines Prismas in vektorieller Punkt-Richtungs-Form dar mit jeweils gleichen Richtungsvektoren, hat man die Kanten schon mal parallel und findet Schnittpunkte durch Gleichsetzen dieser Gleichungen.

A und B nenne ich hier mal die Schnittpunkte zweier Kanten eines Prismas mit den Innenkanten des Raumes und w den kleineren Winkel zwischen der Strecke AB und einer Kante.
Der Abstand d der Kanten ist dann
d=sin(w) • AB
Den Richtungsvektor der Kanten nenne ich mal vec{a}. Will man keine Winkelgrößen in seiner Rechnung haben, kann man den Abstand d der Kanten auch so berechnen:

d = wurzel{AB^{2}– (vec{AB}×vec{a} / a) ^{2}}

Habe ich das richtig geschrieben?

Ich dachte mir, ich könnte jetzt durch Umformen und Einsetzen eine Gleichung bilden, mit der ich alle Kantenlängen in Abhängigkeit von d berechnen kann. Ich bin aber nicht in der Lage, mir die Gleichungen so umzuformen.

Kann mir jemand helfen?

Viele Grüße,
Oliver

Edit: Titel eingedampft!!
Johko
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Frage nach den Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
hallo, das klingt sehr interessant, in jeder beziehung.
aber zur/zu meiner klärung:
liegen A, R, S und T in kantenmitte?
SQ // a_0 ?, würde q festlegen
welche linien/ kanten sind/ sollen parallel sein?
ist der punkt F vorgegeben?
(eventuell masse des raumes?)
werner
 
 
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein kann man Probleme dieser Art ziemlich gut in einem Koordinatensystem berechnen. Das heisst du legst alle deine Punkte in einen 3-dimensionalen Vektorraum, wenn dein Raum Breite, Länge, Höhe a,b,c hat (jeweils in Metern) Dann haben die 8 Ecken die Koordinaten
(0,0,0)
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
(a,b,0)
(a,0,c)
(0,b,c)
(a,b,c)
Genauso kannst du dann für alle übrigen Punkte Koordinaten angeben.
Der Abstand zwischen 2 Punkten A=(x1,y1,z1) und B=(x2,y2,z2) ist dann

wenn du einen Winkel berechnen musst, suche ein Dreieck in dem dieser Winkel liegt, berechne dann die 3 Seitenlängen, dann kann man mit dem Cosinussatz den Winkel berechnen
Sei der Winkel und a,b,c die Seiten des Dreiecks, mit a die Seite gegenüber dann gilt:
Oliver Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Frage nach den Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
Hallo, Wernerrin
Sorry, dass ich erst jetzt Zeit gefunden habe, auf deine Rückfragen zu antworten.
A, R, S und T müssen nicht in Kantenmitte liegen.
Bitte entschuldige meine Unkenntnis mathematischer Zeichen, aber was bedeutet deine Frage "SQ // a_0 ?" ? Vielleicht käme ich ja selber darauf, wenn ich wüßte, was du mit q meinst.
Die Kanten AF und BQ auf deiner Zeichnung sollen parallel zueinander sein und damit ist natürlich auch die dritte Kante des Prismas, zu welchem AF und BQ gehören, parallel zu diesen.
Die Kanten FR und QS sollen dementsprechen auch parallel zueinander sein (und die dritte Kante dieses Prismas parallel zu diesen).
Das genügt mir schon an Parallelen.
Der Punkt F ist nicht vorgegeben. Er liegt übrigens auch nicht in der Grundfläche des Quaders, wie es auf meiner Zeichnung irreführender Weise scheinen mag.
Die Masse des Raumes:
342 cm breit
378 cm tief
238 cm hoch
Gruß,
Oliver
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Frage nach den Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
hallo oliver,
da du mit vektoren herumgeschleudert hast, dachte ich......
// soll heißen parallel
ich werde mir mal in ruhe anschauen, wie weit man/ ich mit deinen angaben kommt/e, einige werte wird man ja festlegen müssen/ sollen, damit man zu "vernünftigen" aussagen kommen kann.
ich melde mich dann wieder
werner

n.s hast du irgendwelche proportionen im kopf, wie du die "echten" raumteile in die "umgestülpten" umlegen willst, oder hast du da schon regeln festgelegt, oder gelten die der ästhetik?

wenn F nicht auf der grundfläche liegt, wie wird das ganze stabilisiert?
Oliver Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Quarague,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Die Sache ist nur die, das ich mein Problem auch mit der Formel zur Abstandsberechnung und dem Cosinussatz nicht lösen kann. Angenommen ich würde nicht verlangen, dass Kanten parallel sein sollen. Dann könnte mein Objekt statt aus zwei Prismen auch aus zwei Tetraedern mit gekappten Spitzen bestehen. Diese zu berechnen wäre ich imstande. Aber alle Bedingung, die ich in meiner Frage aufgeführt habe, so in Gleichungen unterzubringen, das ich diese nach den gesuchten Größen hin auflösen kann, damit bin ich überfordert. Oder es gibt eine simple Lösung, aber ich komme einfach nicht drauf. Drum wende ich mich hier an euch versierte Matheprofis, denn wie man Probleme dieser Art allgemein löst, kann man ja auch in Büchern nachschlagen. Natürlich hätte ich das besser in meiner Frage schon klarer formuliert. Aber ich bin wie gesagt für jeden Ratschlag dankbar.
Viele Grüße
Oliver
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo oliver,
kannst du mir sagen, welche Punkte du festlegen möchtest, und welche daruas berechnet werden sollen.
ich meine: auch wenn z.b A nicht in der kanten mitte liegt, oder die anderen vorher erwähnten, soll dann A auf der kante auf und abwandern können und der rest des werkes mit diesem

z.b: A, B und... gewählt, kante parallel zu von..nach.., der rest errechnet???
w2w
Oliver Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wernerrin

Ich bin sehr froh, dass Du mir helfen willst.

„hast du irgendwelche proportionen im kopf, wie du die "echten" raumteile in die "umgestülpten" umlegen willst, oder hast du da schon regeln festgelegt, oder gelten die der ästhetik?“

Ich nenne die beiden verbundenen Prismen mit den abgerundeten Kanten hier mal „abgebogenes Prisma“. Ich habe noch keine Größen dafür festgelegt. Aber auf meiner Abbildung ist das abgebogene Prima auf jeden Fall zu groß im Verhältnis zum Zimmer. Man sollte das Zimmer noch einzeln betreten können ohne Platzangst, ohne sich von den Kanten des Prismas bedroht zu fühlen. Natürlich wird ein Teil des Zimmers durch das abgebogene Prisma abgesperrt. Es wäre aber gut, wenn man es trotzdem von allen Seiten anschauen könnte, d.h., wenn man sich nur drunterherbücken bräuchte, um in den anderen Teil des Zimmers zu gelangen.

„wenn F nicht auf der grundfläche liegt, wie wird das ganze stabilisiert?“

Gute Frage. Das Ganze wird hohl sein und die Oberfläche wahrscheinlich aus Styrodurplatten bestehen, die tapeziert werden. Wenn möglich, soll das abgebogene Prisma stabilisiert werden durch (ein) Drahtseil(e) im Innern, die zwischen den Wänden des Zimmers verspannt werden. Das Ganze darf auf keinen Fall durchhängen. Das abgebogene Prisma so zu konstruieren, dass das/die Drahtseil(e) nur innen verläuft/verlaufen, könnte natürlich auch eine Schwierigkeit werden. Ich habe den Punkt bislang verschwiegen, um nicht mit zu vielen Forderungen rumzunerven.

Um mich soweit festzulegen, dass man alles andere danach errechnen kann, würde ich meine Forderungen folgendermaßen verschärfen:

1. Es soll möglich sein ein Drahtseil im Zimmer zu verspannen, das von dem abgebogenen Prisma vollständig verdeckt wird.

2. Der Querschnitt des abgebogenen Prismas (d.h. seiner beiden Teile) soll ein gleichseitiges Dreieck sein.

3. Die Seiten dieses Dreiecks sollen genau so lang sein, dass Forderung 1 erfüllt ist, es sei denn, diese Länge beträgt weniger als… ich sag mal… 60 cm. In diesem Fall sollen die Seiten genau 60 cm lang sein.

Viele Grüße,
Oliver
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo oliver, ich bin mir nicht sicher, ob ich dir eine hilfe bin, aber ich werde mich bemühen
nur momentan habe ich einige vorstellungsprobleme, ich habe deinen letzten beitrag noch nicht genau verarbeitet:
es kommt mir alles ein bißchen wie von escher vor.
bin ich da richtig, dass die grauen flächen vorne sind und die mit roten linien umrandeten hinten, also im raum liegen, I und H sind (derzeit) nicht festgelegt, G und E liegen auf den kanten, ebenso A, B und C, F und D sind wieder "irgendwo" im zimmer/ raum.
kannst du mir noch (einmal) sagen, wo - soferne es die ästhetik erlaubt - die gleichseitigen dreiecke sind (z.b. ABC ?) usw.
wie gesagt, deine letzte nachricht muß ich erst genauer anschauen.
die ganze berechnung ist nicht allzu schwer aber mordsmäßig aufwendig, und darum sollten wir vorher möglichst viel festlegen, ohne dass man allzu viel festlegt. ich glaube, du verstehst, wie ich das meine
werner
Oliver Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wernerrin,

leider muss ich mich gerade kurzfassen:

"bin ich da richtig, dass die grauen flächen vorne sind und die mit roten linien umrandeten hinten, also im raum liegen,"

Genau.

"I und H sind (derzeit) nicht festgelegt, G und E liegen auf den kanten, ebenso A, B und C, F und D sind wieder "irgendwo" im zimmer/ raum."

A,B,C liegen auf Kanten und ebenso E, G, I. Dagegen liegen F,D,H im Raum.
Die Dreiecke ABC und EIG sind symmetrisch (mir will gerade nicht in den Kopf, welche Art von Symmetrie)
ABC und EIG sind nicht gleichseitig. Die Abstände zwischen den Strecken
AF, BD, CH sind gleich und die Abstände zwischen FG, HI und DE sind ebenfalls gleich gleich den anderen drei Abständen, äh, dem anderen Abstand, Du weißt, was ich meine.

Nachtrag zu meiner letzten Nachricht: Die dicke der Styrodurplatten können vernachlässigt werden, ebenso wie Abrundungen von Kanten gemäß meinem allerersten Text. Damit es nicht zu kompliziert wird.

bis bald,
Oliver
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
hallo oliver,
da ist noch ein problem, das man besser sieht, wenn das zimmer gedreht ist: nach deinen vorgaben müßte man nun den henkel um 180° drehen?!
das wars, als ich sagte, erinnert mich irgendwie an escher
werner
Oliver Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kantenlängen und Winkelgrößen einer Körperoberfläche
Hallo Wernerrin,
anhand des Modells auf der Abbildung im Anhang habe ich nun zwar recht spät erst aber besser als nie erkannt, dass das Objekt, so wie ich es mir vorgestellt hatte, nicht realisierbar ist. Wenn man eine Tobleroneschachtel abknickt und der Knick wie auf der Abbildung zu sehen nicht rechtwinklig zu den Kanten verläuft, können nur noch zwei Kantenpaare verbunden sein. Verliefe der Knick im rechten Winkel zu den Kanten, würde er nichts nützen, denn dann bekäme ich damit keine Drehung hin. Nicht wahr? Und sicherlich deshalb, weil ich diesen einfachen Sachverhalt nicht erkannt habe, hattest Du auch immer wieder Rückfragen. Wie dumm von mir. Jetzt muss ich noch mal neu überlegen, wie mein Objekt aussehen soll.
Viele Grüße,
Oliver
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