"Unendlich" ist mehr als "Unendlich"

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ensibel Auf diesen Beitrag antworten »
"Unendlich" ist mehr als "Unendlich"
Guten Tag & Willkommen

Ich besuche die 9. Klasse des Gymnasialzweigs und habe mal eine Frage.

Unser Mathelehrer meinte dass es mehr Brüche, als ganze Zahlen gäbe.

Ich wies ihn darauf hin, dass das doch falsch formuliert sei.

Müsse es nicht heißen.

"In einem bestimmtem Bereich gibt (z.B: von 1-100) gibt es mehr Brüche als ganze Zahlen"

??

Denn es gibt doch wohl unumstritten unendlich viele Brüche und unendlich viele ganze Zahlen (wenn man es nicht weiter eingrenzt).

Und "undenlich viel" kann doch nicht "mehr" als "unendlich viel" sein, oder?

Er meinte, dass das nicht so wäre.

Hoffe mir kann das einer erläutern, oder mir eine sauber formulierte korrekte Definition liefern, die ich meinem Mathelehrer dann mal vorlegen werde Augenzwinkern

Danke!!

MfG Ensibel

[Edit] Also aus Wikipedia "Abzählbarkeit" werde ich schonmal nicht schlau, aber ich bin einfach mal gespannt Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff, den du suchst, ist "Mächtigkeit" (Kardinalität).

Die Mächtigkeit bezeichnet im Fall endlicher(!) Mengen einfach die Anzahl der Elemente und wird auf unendliche Mengen verallgemeinert.
z.B. ist |R mächtiger als |N (aber beide sind unendlich).

Edit: Du hast übrigens Unrecht. Es gibt halt so etwas wie "mehr unendlich als unendlich" Big Laugh

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Unendlich" ist mehr als "Unendlich"
Zitat:
Original von ensibel
Unser Mathelehrer meinte dass es mehr Brüche, als ganze Zahlen gäbe.


Da müßtest du noch einmal genauer nachfragen, wie er das meinte. Vielleicht hast du da auch etwas falsch verstanden oder falsch aufgeschrieben. Wenn es nämlich um die Anzahlen der ganzen Zahlen und der Brüche geht (Airblader hat dafür den Fachbegriff Kardinalität verwendet), so sind diese Anzahlen gerade von gleicher Unendlichkeitsstufe.
Aber wie gesagt, vielleicht ging es in der Aussage deines Lehrers um etwas anderes. Der Begriff "unendlich" wird in der Mathematik je nach Zusammenhang ganz verschieden gebraucht: neben den Anzahlen (Kardinalzahlen) kann man auch Numerierungen (Ordinalzahlen) betrachten, auch kann "unendlich" in topologischer (das ist so etwas wie geometrischer) Betrachtungsweise etwas im Sinne von "ganz weit draußen - weiter, als man denken kann" bedeuten.

Du siehst, du hast hier ein großes Faß aufgemacht, fast möchte ich sagen, von unendlich weiten Maßen ...
ensibel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal!!!

Also den Begriff "unendlich" warf ich ein, als ich nachfragte, ob er nicht einen bestimmten "Zahlenraum" meinte. Er wollte es aber auch nicht erklären.

Ich habe nur in einem Buch gelesen, da kam einmal etwas über die unendlichen Zahlen vor, und da man ja zu ganzen Zahlen immer einfach "+1" rechnen kann, kriegt man immer höhere Zahlen (oder eben auch "-1")

Aber wenn die Formulierung meines Lehrers so richtig ist, dann doch nur, wenn man sie als "Zahlenraum" gemeintn interpretiert, oder?

(Damit meine ich das die Mächtigkeit ja eigentlich auch nur bestimmt werden kann, wenn man sich nur einen bestimmten "Zahlenraum" (gibts da nen Fachbegriff?) ansieht.

Danke

MfG Ensibel
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung was du mit "Zahlenraum" meinst, aber die Mengen und haben gleich viele Elemente.
ensibel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, unendlich viele?!?!

Mit Zahlenraum meine ich (wie oben beschrieben) dass man das auf einem gewissen Bereich eingrenz (z.B: 1-100)

MfG Ensibel
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt unendlich viele. Aber "gleich viel unendlich" viele Augenzwinkern

Und nein, die Mächtigkeit bei unendlichen Mengen wird nicht bei einer Eingrenzung bestimmt. Wäre ja auch sinnlos - denn dann bestimmt man die Mächtigkeit einer endlichen Menge (die halt Teilmenge einer unendlichen ist).

Das Problem ist, dass "unendlich" so eine eigene Sache ist. Man kann es sich einfach nicht vorstellen. Es gibt aber gewisse Verfahren (z.B. Cantor-Diagonalisierung).

"Gleichmächtig" heißt übrigens:
Zwei Mengen A und B sind gleichmächtig, wenn man jedem Element A ein Element aus B und umgekehrt zurodnen kann (man spricht von einer Bijektion zwischen den Mengen).

air
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Link zum Thema
ensibel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Ja, es gibt unendlich viele. Aber "gleich viel unendlich" viele Augenzwinkern

Ja, das meinte ich ja damit, aber unser Lehrer sagte, es gäbe "mehr Brüche(=unendlich viele)" als "ganze Zahlen (=unendlich viele)"

...Oder geht das, weil die Formulierung so, nicht auf die "Endlichkeit" abzielt?!

Ich werde mir das Thema mal zu gemüte ziehen, danke!

(Vllt ein Bsp.: (ich weiß weit hergeholt) 100 ist ja auch 100. Da gibts kein "mehr 100" oder "weniger 100" (ausser bei Addieren und Subtrahieren für Grundschüler Big Laugh

mfG Ensibel
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sind und gleich mächtig?

Bei gibt es doch noch die ganzen Brüche. Die Zahlenmenge wird dadurch doch viel größer???
ensibel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden hab, weils von beiden gleich "unendlich viele" gibt
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

aber es gibt mehr brüche als ganze Zahlen...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
aber es gibt mehr brüche als ganze Zahlen...

Nein eben nicht. Man kann jedem Bruch eine natürliche Zahl zuweisen. D.h. es gibt genauso viele Brüche wie natürliche Zahlen(siehe auch Link von tigerbine)
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, glaub das hab ich verstanden.

Ist es denn dann auch richtig, dass die Menge der graden natürlichen Zahlen ebenfalls gleich Mächtig mit der Menge aller Natürlicher Zahlen ist???

Ist irgendwie sinnfrei in meinen Augen, da das eine nur ne Teilmenge ist, aber so hab ich das Verfahren verstanden...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Menge der geraden natürlichen Zahlen eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, muss diese Teilmenge abzählbar sein.
Damit ist sie auch gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen - also: Ja smile

air
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut. Das ist wohl eine Denkweise die ich so akzeptieren muss, aber warum sind nicht gleich mächtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ist überabzählbar unendlich
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