Produktsumme Integralrechnung

18.10.2007, 17:08

m@the89

Produktsumme Integralrechnung

Hallo zusammen, Wink

ich hoffe mir kann jemand weiter helfen...

Wir haben diese Woche im Unterricht mit der Integralrechnung begonnen, genauer gesagt mi der Produktsumme. Bisher haben wir die Produktsumme für Funktionen wie f(x) = x^2 oder f(x) = x^3 bestimmt. Nun sollen wir prüfen, wie sich das Ergebnis bei f(x) = x^2 ändert, wenn eine weitere Zahl davor kommt, also etwa f(x) = 3x^2.

Bisher rechneten wir so:
$\begin{eqnarray*} sn = \frac{b}{n} * f(1*\frac{b}{n} ) + \frac{b}{n} * f(2*\frac{b}{n} ) + ... +\frac{b}{n} * f(n*\frac{b}{n} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sn = \frac{b}{n} * [f(1*\frac{b}{n} ) + f(2*\frac{b}{n} ) + ... + f(n*\frac{b}{n} ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sn = \frac{b}{n} * [1^{2} + 2^{2} + ^{2} + ... + n^{2}] \end{eqnarray*}$

und dann halt auf die entsprechende Produktsumme gebracht.

Wie muss ich die obere Rechnung anpassen, damit die 3 vor $\begin{eqnarray*} 3x^{2} \end{eqnarray*}$ beachtet wird?

Viele liebe Grüße und danke schonmal im vorraus, falls mir jemand helfen kann!

18.10.2007, 17:10

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von m@the89
Wie muss ich die obere Rechnung anpassen, damit die 3 vor $\begin{eqnarray*} 3x^{2} \end{eqnarray*}$ beachtet wird?

Dann überlege mal, was $\begin{eqnarray*} f(1 \cdot \frac b n) \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von m@the89
$\begin{eqnarray*} sn = \frac{b}{n} * [1^{2} + 2^{2} + ^{2} + ... + n^{2}] \end{eqnarray*}$

Im übrigen stimmt diese Zeile nicht. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} sn = \frac{b^3}{n^3} \cdot \left( 1^{2} + 2^{2} + ^{2} + ... + n^{2} \right) \end{eqnarray*}$

18.10.2007, 17:12

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung
Heißt das, ich muss einfach die Zahl vor dem Bruch mal 3 nehmen?

18.10.2007, 17:14

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung
Vor welchem Bruch?

18.10.2007, 17:19

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Vor welchem Bruch?

Vor $\begin{eqnarray*} f(1 * \frac{b}{n}) \end{eqnarray*}$ meinte ich.

Reicht es aus, hier aus der 1 eine 3 zu machen, beim vorherigen $\begin{eqnarray*} f(2 * \frac{b}{n}) \end{eqnarray*}$ aus der 2 eine 6 usw...?

18.10.2007, 17:24

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung
Nein. Die Stellen $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac{b}{n}, 2 \cdot \frac{b}{n}, ... \end{eqnarray*}$ sind die Stellen, an denen der Funktionswert f(...) genommen wird. Die bleiben doch alle gleich. Geändert hat sich die Funktion.

Also machen wir die Frage leichter. Was ist f(1) ? Was ist f(2) ? Was ist f(a) ? Was ist f(1 * b/n) ?

18.10.2007, 17:29

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist f(1) ? Was ist f(2) ? Was ist f(a) ? Was ist f(1 * b/n) ?

Naja, das sind ja die zur eingesetzten Zahl (1,2,a und 1 * b/n) zugehörigen Funktionswerte... Ok ich habe verstanden, ich muss die Zahl in den Klammern ändern, oder?

Aber dann müsste es ja reichen, die 3 vor das b in den Zähler zu setzen?

Oh mein Gott ist das peinlich ^^

18.10.2007, 17:32

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von m@the89
Naja, das sind ja die zur eingesetzten Zahl (1,2,a und 1 * b/n) zugehörigen Funktionswerte.

Und genau diese hätte ich gerne mal so weit wie möglich explizit gesehen.

18.10.2007, 17:35

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von m@the89
Naja, das sind ja die zur eingesetzten Zahl (1,2,a und 1 * b/n) zugehörigen Funktionswerte.

Und genau diese hätte ich gerne mal so weit wie möglich explizit gesehen.

Es gibt keine explizieten Funktionswerte, da die in meinem ersten Beitrag gezeigte Rechnung aus unserem allgemeinen Beweis für f(x) = x^2 stammte (demnach wird die Fläche in n gleiche Teile geteilt, wobei das Intervall, auf dem die Funktion definiert ist, [0;b] ist).

Und den soll ich "nur" für f(x) = 3x^2 anpassen...

18.10.2007, 17:51

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung
Du verstehst mich nicht. Du hast offensichtlich Schwierigkeiten damit, für f(x) = 3*x² den Funktionswert f(1 * b/n) zu bestimmen. Das ist für mich auch ein Indiz dafür, daß du die in der Schule gezeigte Rechnung nicht wirklich verstanden hast. Deswegen möchte ich von dir mal die Funktionswerte f(1), f(2) und f(a) berechnet oder als Formel hingeschrieben haben.

18.10.2007, 17:56

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit
f(x) = 3*x²
...

Deswegen möchte ich von dir mal die Funktionswerte f(1), f(2) und f(a) berechnet oder als Formel hingeschrieben haben.

f(1) = 3*1² = 3
f(2) = 3*2² = 12
f(a) = 3*a² = 3a²

Richtig?

18.10.2007, 18:02

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung
Sehr gut. Freude

Und jetzt noch f(1 * b/n), f(2 * b/n) und f(n * b/n).

EDIT: muß mich jetzt verabschieden. Vielleicht macht ein anderer weiter.

18.10.2007, 19:10

m@the89

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Sehr gut. Freude

Und jetzt noch f(1 * b/n), f(2 * b/n) und f(n * b/n).

f(1 * b/n) = 3*(1 * b/n)^2 = 3*(b/n)^2 = 3b^2/n^2
f(2 * b/n) = 3*(2 * b/n)^2 = 3*(2b/n)^2 = 3(2b^2/n^2) = 6b^2/n^2
f(n * b/n) = 3*(n * b/n)^2 = 3*(n^2 * b^2/n^2) = 3n^2 3b^2/n^2

Ich sehe aber irgendwie immer noch nicht, wie ich die 3 einspielen soll... ich müsste doch nur den Koeffizienten mal 3 nehmen oder?

(Danke bis hierhin an klarsoweit für die Hilfe)

18.10.2007, 19:39

klarsoweit

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RE: Produktsumme Integralrechnung

Zitat:

Original von m@the89
f(2 * b/n) = 3*(2 * b/n)^2 = 3*(2b/n)^2 = 3(2b^2/n^2) = 6b^2/n^2

Falsch. Es ist 3*(2b/n)^2 = 3*2²*b²/n²

Zitat:

Original von m@the89
f(n * b/n) = 3*(n * b/n)^2 = 3*(n^2 * b^2/n^2) = 3n^2 3b^2/n^2

Auch falsch. Es ist 3*(n^2 * b^2/n^2) = 3*b²

Um bei dem Beispiel von der Schule zu bleiben, schreiben wir das am besten mal so hin:

$\begin{eqnarray*} f(1 * b/n) = 3*(1 * b/n)^2 = 3 \cdot 1^2 \cdot \frac{b^2}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2 * b/n) = 3*(2 * b/n)^2 = 3 \cdot 2^2 \cdot \frac{b^2}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(n * b/n) = 3*(n * b/n)^2 = 3 \cdot n^2 \cdot \frac{b^2}{n^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt solltest du mal den Ausdruck für sn hinschreiben.

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