Raum mit 8 Ehepaaren

18.10.2007, 18:44

RxM

Raum mit 8 Ehepaaren

Hallo,

In einem Raum befinden sich 8 Ehepaare.

Sechs Personen werden zufällig ausgewählt. berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass darunter 3 Ehepaare sind / dass darunter kein Ehepaar ist ..

Es handelt sich um Übungsaufgaben für eine Klausur und wir haben auch Lösungen. Ich komme aber partout nicht auf die gegebene Lösung.. zumindest nicht durch meine ersten Ideen.

Es handelt sich doch um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen oder?
Könnte mir jemand ein paar Ideen geben

18.10.2007, 22:39

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es handelt sich doch um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen oder?

Ja.

Als Tipp: Stelle dir eine Urne mit 16 Kugeln vor. Es gibt 8 Farben (jedes Ehepaar besteht aus zwei Kugeln gleicher Farbe)...

Wenn dir das nicht weiterhilft, poste mal deine Ansätze.

19.10.2007, 00:04

RxM

Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{ {2 \choose 2}*{2 \choose 2}*{2 \choose 2}*{10 \choose 0} } { {16 \choose 6}} = \frac{1}{{16 \choose 6}} \end{eqnarray*}$

Dies wäre dann jetzt die Lösung für ein bestimmtes 3er Pärchen oder? Also muss ich das jetzt mit der Anzahl der möglichen 3er Pärchen multiplizieren?
Die wäre ja $\begin{eqnarray*} {8 \choose 3} \end{eqnarray*}$ - also:
$\begin{eqnarray*} \frac{{8 \choose 3}}{{16 \choose 6}} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf das richtige Ergebnis. Schonma lvielen dank für den Hinweis

19.10.2007, 00:28

RxM

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich sollte mich demnächst mal registrieren .. so kann man ja logischerweise garnicht editieren.

Mit meinem Ansatz stoße ichbei der 3ten Teilaufgabe auf ein Problem. Es geht diesmal um "genau 1 Paar"

$\begin{eqnarray*} \frac{ {2 \choose 2}*{2 \choose 1}*{2 \choose 1} * {2 \choose 1} * {2 \choose 1} * {6 \choose 0} }{{16 \choose 6}} \end{eqnarray*}$

Also müsste man jetzt doch 5 Paare verteilen? 4 von denen quasi immer nur einer da ist + 1 komplettes Paar - also $\begin{eqnarray*} {8 \choose 5} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich aber nicht auf das richtige Ergebnis. Andere Versuche die Paarkombinationen anzugeben scheiterten ihn Wahrscheinlichkeiten > 1 :>

19.10.2007, 22:24

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, registrier doch mal! Augenzwinkern

Also "gar kein Paar" würde ich ohne Binomialkoeffizienten angehen, einfach Stück für Stück "wieviel günstige Möglichkeiten beim 1. Zug" "wieviele dann noch beim 2.", etc. Und im Nenner immer die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten $\begin{eqnarray*} 16\cdot 15\cdot 14 \cdot ... \end{eqnarray*}$

Jetzt zu "genau 1 Paar":

Nenner sieht prinzipiell schonmal gut aus. Wie kommst du auf die Glieder im Zähler?

20.02.2014, 09:08

leo111

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte eine Frage zu

kein Paar . Wieso rechne ich (8 über 6)? Der Rest der Rechnung macht für mich Sinn, aber wofür steht das? verwirrt

genau ein Ehepaar .
ich hätte hier auch soweit die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{ {2 \choose 2}*{2 \choose 1}*{2 \choose 1} * {2 \choose 1} * {2 \choose 1} * {6 \choose 0} }{{16 \choose 6}} \end{eqnarray*}$

genommen, aber auch hier stellt sich mir irgendwie die Frage, wie ich die Anzahl der Möglichkeiten hier errechne? Der obige Teil nur so ist ja gedacht als WS für genau ein spezielles Ehepaar. Ich habe ja aber 8. Also einfach nur mal 8?

Kann mir da jemand helfen?
*äußerst verwirrt*

Danke im Voraus!

20.02.2014, 09:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von leo111
kein Paar . Wieso rechne ich (8 über 6)? Der Rest der Rechnung macht für mich Sinn, aber wofür steht das? verwirrt

Bitte nenne deine vollständige Rechnung (die du dir ja anscheinend nicht selbst überlegt hast, dir aber irgendwie vorliegt). Fragmente machen nämlich keinen Sinn, da solche kombinatorischen Aufgaben auf mehr als eine Weise gelöst werden können, siehe z.B. hier.

P.S.: Ich kann nur vermuten, dass es um die Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{\displaystyle\binom{8}{6}\cdot 2^6}{\displaystyle\binom{16}{6}} \end{eqnarray*}$

für die gesuchte Wahrscheinlichkeit geht.

20.02.2014, 09:41

leo111

Auf diesen Beitrag antworten »

kein Ehepaar habe ich nur soviel:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}^6 * \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}) / \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für genau ein Ehepaar:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}^{4} * (\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}) / \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.02.2014, 09:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo ist jetzt das $\begin{eqnarray*} \binom{8}{6} \end{eqnarray*}$ abgeblieben, von dem du oben noch geredet hast? geschockt

Ok, ich spreche mal zu der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{\displaystyle\binom{8}{6}\cdot 2^6}{\displaystyle\binom{16}{6}} \end{eqnarray*}$ :

Im Zähler steht die Anzahl der für das Ereignis "kein Ehepaar" günstigen Auswahlmöglichkeiten: Die 6 Personen müssen dann aus 6 unterschiedlichen Ehepaaren stammen, für deren Auswahl aus insgesamt 8 möglichen Ehepaaren gibt es $\begin{eqnarray*} \binom{8}{6} \end{eqnarray*}$ Auswahlmöglichkeiten. Für jedes der 6 nunmehr ausgewählten Ehepaare gibt es nun zwei Möglichkeiten der Partnerauswahl, insgesamt also $\begin{eqnarray*} 2^6 \end{eqnarray*}$ .

Und der Nenner $\begin{eqnarray*} \binom{16}{6} \end{eqnarray*}$ als Anzahl aller möglicher Auswahlmöglichkeiten von 6 aus 2*8=16 Personen sollte ohnehin klar sein.

20.02.2014, 09:52

leo111

Auf diesen Beitrag antworten »

die $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe ich ja nicht selbst mir gedacht, sonder hier nur gelesen und leider nicht verstanden...

also heißt das jetzt, die Möglichkeitenanzahl, bei der von 8 Ehepaaren 6 auszuwählen...also einmal Ehepaar A dabei, und einmal auch nicht? So in dem Stil?

20.02.2014, 09:55

leo111

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt es dann, dass ich bei einem Ehepaar, dann auch eins aus 8 auswählen muss?

ALso dass die Formel dann ganz heißt:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}^{4} * \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} ) / \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.02.2014, 10:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von leo111
die $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe ich ja nicht selbst mir gedacht, sonder hier nur gelesen und leider nicht verstanden...

Das hatte ich mir gedacht, und so auch oben geschrieben - ich hatte dich extra gebeten, die dir vorliegende Formel vollständig aufzuschreiben, aber wie so oft hier im Board, es wird nicht zugehört... unglücklich

Zitat:

Original von leo111
heißt es dann, dass ich bei einem Ehepaar, dann auch eins aus 8 auswählen muss?

ALso dass die Formel dann ganz heißt:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}^{4} * \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} ) / \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist blinde Formelbastelei, du musst alle Aspekte des Auswahlverfahrens berücksichtigen. unglücklich

Bei "genau ein Ehepaar" würde ich bei den günstigen Auswahlmöglichkeiten so vorgehen: Unter den 6 ausgewählten Personen sind 2 aus einem Ehepaar und 4 weitere einzelne aus 4 anderen Paaren.

$\begin{eqnarray*} \binom{8}{1} \end{eqnarray*}$ für die Auswahl des einen vollständig ausgewählten Ehepaares.

$\begin{eqnarray*} \binom{7}{4} \end{eqnarray*}$ für die Auswahl der 4 Ehepaare mit genau einer ausgewählten Person - das erste Ehepaar von eben ist ja nicht mehr in der Grundmenge der auswählbaren Paare!

$\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ für die Auswahl des einen Partners aus diesen 4 Ehepaaren.

Insgesamt also

$\begin{eqnarray*} \frac{\displaystyle\binom{8}{1}\cdot \binom{7}{4}\cdot 2^4}{\displaystyle\binom{16}{6}} \end{eqnarray*}$ .

Alternativ könnte man auch zuerst die 4 Ehepaare und dann erst das eine vollständige Ehepaar auswählen, aber wegen

$\begin{eqnarray*} \binom{8}{1}\cdot \binom{7}{4} = \binom{8}{4}\cdot \binom{4}{1} \end{eqnarray*}$

ist das rum wie num.

Neue Frage »

Antworten »

Raum mit 8 Ehepaaren

Verwandte Themen