Intervallschachtellung

19.10.2007, 15:48

Cidburner

Intervallschachtellung

Hi Leutz ich habe hier ein kleines Problem Augenzwinkern

Die Aufgabe:

Eine Menge von Intervallen I1, I2, ... werde folgendermaßen definiert. Es sei
I1 = [0, 1]. Dann sei I2 das linke Halbintervall von I1, I3 das rechte Halbintervall
von I2, I4 das linke Halbintervall von I3 usw. Bildet die Menge der Intervalle eine
Intervallschachtelung? Wenn ja, welche (dann eindeutig bestimmte) Zahl geh¨ort
allen Intervallen an?

Meine Gedanken
Eine Schachtelung liegt nur dann vor, wenn allen intervallen eine bestimmte zahl zugeordnet werden kann, und wenn die Differenz der Intervallgrenzen 0 ist (a,b),. aber irgendwie bekomme ich das nicht zusammen. Ich habe schon mehrmals rumprobiert und festgestellt das die Differenz der Intervallgrenzen gegen 0 strebt. Aber die eindeutig zu bestimmende Zahl bekomme ich nicht raus.

jede Hilfe ist mir recht smile

Danke schon einmal im voraus smile

mfg CID

19.10.2007, 18:03

therisen

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code:

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Linke Grenze: 0. Rechte Grenze: 1.
Linke Grenze: 0. Rechte Grenze: 0.5
Linke Grenze: 0.25 Rechte Grenze: 0.5
Linke Grenze: 0.25 Rechte Grenze: 0.375
Linke Grenze: 0.3125 Rechte Grenze: 0.375
Linke Grenze: 0.3125 Rechte Grenze: 0.34375
Linke Grenze: 0.328125 Rechte Grenze: 0.34375
Linke Grenze: 0.328125 Rechte Grenze: 0.3359375
Linke Grenze: 0.33203125 Rechte Grenze: 0.3359375
Linke Grenze: 0.33203125 Rechte Grenze: 0.333984375
Linke Grenze: 0.3330078125 Rechte Grenze: 0.333984375
Linke Grenze: 0.3330078125 Rechte Grenze: 0.33349609375
Linke Grenze: 0.333251953125 Rechte Grenze: 0.33349609375
Linke Grenze: 0.333251953125 Rechte Grenze: 0.333374023438
Linke Grenze: 0.333312988281 Rechte Grenze: 0.333374023438
Linke Grenze: 0.333312988281 Rechte Grenze: 0.333343505859
Linke Grenze: 0.33332824707 Rechte Grenze: 0.333343505859
Linke Grenze: 0.33332824707 Rechte Grenze: 0.333335876465
Linke Grenze: 0.333332061768 Rechte Grenze: 0.333335876465
Linke Grenze: 0.333332061768 Rechte Grenze: 0.333333969116
Linke Grenze: 0.333333015442 Rechte Grenze: 0.333333969116
Linke Grenze: 0.333333015442 Rechte Grenze: 0.333333492279

Was vermutest du?

22.10.2007, 11:10

Cidburner

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Danke erstmal für die antwort smile

Nach den zahlen geht es wohl gegen 1/3. die sache ist nur wie beweise ich das verwirrt

..

mfg Cid

22.10.2007, 11:33

Tomtomtomtom

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Du mußt nur zeigen, daß 1/3 in allen Intervallen liegt. Daß dies dann die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft sein muß, folgt dann aus der Tatsache, daß die I_n eine Intervallschachtelung bilden (was du deinen Angaben zufolge schon bewiesen hast).

Der imho eleganteste Weg wäre, die Darstellung von Zahlen im Binärsystem zu nutzen. Dann kannst du zeigen, daß

I_1 genau das Intervall ist, daß alle Zahlen mit der Darstellung 0,...... (Basis 2) enthält,

I_2 das Intervall mit allen Zahlen 0,0..... (Basis 2) ist, (da genau die vordere Hälfte abgeschnitten wird)

I_3...(hier darfst du weitermachen)
usw.

Jetzt dürfte einfach zu sehen sein, wie die Zahl aussieht, die in allen Intervallen I_n liegt. Du mußt diese nur noch ins Dezimalsystem umrechnen.

24.10.2007, 13:06

Cidburner

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Ah ok supi danke dir..Die Erleuchtung kam smile

habe schon wieder ein neues Problem eigentlich eher easy aber das steht bei algebra falls ihr lust habt es euch mal anzuschauen smile

danke nochmal an alle

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