Mengen - Wohlunterscheidbarkeit

19.10.2007, 17:58

Airblader

Mengen - Wohlunterscheidbarkeit

Hi,

an diesen Thread anschließend, möchte ich die Frage nochmal aufwerfen:

Wenn $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ zwei Mengen sind, für die $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ gilt - sind diese dann auch gleichmächtig?

Es geht speziell um z.B.: $\begin{eqnarray*} A = \{1\} ~;~ B = \{1,1\} \end{eqnarray*}$ .

Für meine Vorstellungen und Begriffe sind diese Mengen definitiv gleich, da Mengen wohlunterscheidbare Objekte haben.
Zwar ist B so nicht verboten, "fällt aber zu A zusammen".
Und wenn ich schon nicht direkt $\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow |A| = |B| \end{eqnarray*}$ folgern "darf", warum sollte es so falsch sein?

Zitat:

A, B sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ gibt.
Da B = A also $\begin{eqnarray*} f: A \to A \end{eqnarray*}$ - und diese Abbildung ist trivial.

Diese Methode ist, denke ich, "overkilled". Zwei gleiche Mengen müssen schlichtweg doch auch die selbe Mächtigkeit haben!

(Vorbeugend: Ich rede nicht von Multimengen! smile

).

Klar... bestünden Mengen nicht aus wohlunterscheidbaren Objekten, so könnte man keine Bijektion von {1} nach {1,1} angeben - aber das wären ja eben Multimengen. Mengen bestehen doch nunmal einfach aus wohlunterscheidbaren Objekten.

Kann das also mal bitte einer klären verwirrt

Danke schonmal,
air

19.10.2007, 18:24

papahuhn

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Die Verwirrung entsteht nur durch die Notation von Mengen. Natürlich gibt es eine Bijektion von A nach B, nämlich $\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber:
Ganz allgemein betrachtet muss aus $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ NICHT $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \end{eqnarray*}$ folgen, wenn $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ irgendein Operator ist. Mir ist zumindest ein mal ein Operator untergekommen, für den diese Implikation nicht gilt.
Deswegen hat little_budgie nicht ganz Unrecht. Erstmal sind Gleichmächtigkeit und Gleichheit zwei verschiedene Sachen.

19.10.2007, 18:54

Airblader

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$\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ ist hier aber nunmal nicht "irgendein" Operator. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow |A| = |B| \end{eqnarray*}$ nicht deswegen richtig, weil man "auf beiden Seiten einen Operator anwendet", sondern weil man eben den Zwischenschritt mit der Bijektion machen kann (der Folgerungspfeil sagt ja nicht aus, wie die Folgerung zustande kommt).
In diesem Zusammenhang war klar, dass $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ die Mächtigkeit meint.

Und dass Gleichmächtigkeit und Gleichheit verschiedene Sachen sind ist klar. Aber das ist kein Grund, zu sagen, dass sie nicht irgendwie zusammenhängen können smile

air

19.10.2007, 19:19

therisen

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RE: Mengen - Wohlunterscheidbarkeit

Zitat:

Original von Airblader
Zwar ist B so nicht verboten, "fällt aber zu A zusammen".

Doch, genau das ist das Problem. B ist keine Menge. Denn eine Menge ist "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen".

19.10.2007, 19:26

papahuhn

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RE: Mengen - Wohlunterscheidbarkeit
Warum ist das keine Menge? Es ist die Menge, für die gilt: $\begin{eqnarray*} 1 \in B \wedge 1\in B \end{eqnarray*}$ , sonst nichts in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

19.10.2007, 19:27

Airblader

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Ist es wirklich "verboten"? Ich denke, die Darstellung {1,1} fällt einfach sofort zu {1} zusammen. Ein "absolutes Verbot" könnte doch sicherlich zu Problemen führen, wenn man eine Menge nicht so "direkt" definiert, sondern anders (kA, z.B. alle Elemente einer Folge. Dann müsste ja erstmal Injektvität bewiesen werden.

Und - ja, es ist nicht arg aussagekräftig - zumindest in Erhard Behrends Analysis I steht:

Zitat:

Es ist übrigens nicht verboten, einige Elemente mehrfach aufzuführen [...]. {1,2,4} ist die gleiche Menge wie {1,1,2,4} [...]. Der Sinn dieser Vereinbarung wird deutlich, wenn man Mengen der Form {a,b,c} untersucht, wobei a,b,c erst später festgesetzt werden. Dann ist es ganz praktisch, auch dann {a,b,c} schreiben zu können, wenn etwa a = b gilt

Edit: @papahuhn
Er sagt, dass B keine Menge ist, weil B nicht aus wohlunterschiedenen Elementen besteht. smile

air

19.10.2007, 19:36

therisen

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Da hast du auch schon das Problem: "... Der Sinn dieser Vereinbarung ... ". Hier ist es eine andere Vereinbarung. Das zeigt insbesondere, wie sinnlos eine derartige Diskussion ist. Tut mir leid, wenn ich das so sage, aber derartige Fragen sind einfach typisch für euch Schüler/Leute deines Alters. Um deine ursprüngliche Frage zu beantworten:

Zitat:

Original von Airblader
möchte ich die Frage nochmal aufwerfen:

Wenn $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ zwei Mengen sind, für die $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ gilt - sind diese dann auch gleichmächtig?

Natürlich, das ist trivial. Das ist aber auch nicht das Problem (s.o.).

19.10.2007, 19:49

papahuhn

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Zitat:

Original von therisen
Da hast du auch schon das Problem: "... Der Sinn dieser Vereinbarung ... ". Hier ist es eine andere Vereinbarung.

Wenn ich mich da mal einmischen darf; ich sehe da kein Problem. Definitionen sind auch Vereinbarungen. Ich sehe keine Nachteile in Airbladers Vereinbarung im Vergleich zu der verlinkten. Wenn man in $\begin{eqnarray*} \{1, 1\} \end{eqnarray*}$ nichtunterscheidbare Elemente erkennt, hat man den Schritt von der Syntax zur Semantik nicht gemacht.

19.10.2007, 20:36

Airblader

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@therisen

Ich stimme mit dir überein - unter diesem Aspekt ist die Diskussion sinnlos. Ehrlich gesagt finde ich die Vereinbarung, doppelte Elemente zumindest nicht als verboten anzusehen und "zusammenfallen zu lassen" trotzdem als zu bevorzugen.

Für die andere Variante gibt es ja schließlich dann die Multimengen!

Aber gut - es ist nicht eindeutig festgelegt. Dann ist die Diskussion sinnlos.
Dass es was mit "typischen Fragen" zu tun hat sehe ich nicht so. Den Sinn der Diskussion, ohne zu wissen, dass es andere Vereinbarungen gibt, sehe ich schon.

Zitat:

Natürlich, das ist trivial. Das ist aber auch nicht das Problem (s.o.).

Unter deinen Gesichtspunkten ist das natürlich klar.

air

19.10.2007, 20:44

Lux.

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Dass {a,a} = {a} gilt, ist zumindest in ZFC eine notwendige und sinnvolle Folge des Extensionalitätsaxioms und damit keine Frage der Vereinbarung.

19.10.2007, 20:56

Airblader

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Zitat:

Original von Lux.
Dass {a,a} = {a} gilt, ist zumindest in ZFC eine notwendige und sinnvolle Folge des Extensionalitätsaxioms und damit keine Frage der Vereinbarung.

Nicht, wenn man sagt, dass {a,a} schon garnicht als Menge angesehen werden darf.

air

19.10.2007, 21:15

Lux.

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Zitat:

Original von Airblader
Nicht, wenn man sagt, dass {a,a} schon garnicht als Menge angesehen werden darf.

Wenn es explizit jemand festlegt, natürlich. Aber allein ausgehend von den 10 Axiomen von ZFC ist es absolut legitim.

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